Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado $m \in \mathbb{R}$, se considera el sistema lineal

$\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x + 2y + z = -1 \\ 3x + 3y + 2z = m \end{cases}$

a) Discuta el sistema según los valores de $m$ y resuélvalo en los casos en los que sea posible. [1,75 puntos]

b) Estudie si es posible encontrar una solución en la que $z = 3$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema según los valores de } \boldsymbol{m}\textbf{ y resuélvalo en los casos en los que sea posible. [1,75 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, en el que conviene observar que la tercera fila es la suma de las dos primeras.

$|A|=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix}=0$

$F_{3}=F_{1}+F_{2} \Rightarrow \text{las tres filas son linealmente dependientes}$

El determinante es nulo para cualquier valor de $m$, porque el parámetro está en el término independiente y no en la matriz de coeficientes. Buscamos un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=4-1=3\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

Orlamos ese menor en la matriz ampliada con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 3 & m \end{vmatrix}=2(2m+3)-1(m+3)+1(3-6)$

$=4m+6-m-3-3=3m$

$3m=0 \Rightarrow m=0$

Si $m\neq0$:

$\operatorname{rg}(A)=2\neq3=\operatorname{rg}(A^{*}) \Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $m=0$:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3 \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Lo resolvemos en ese caso. Como el rango es 2, nos quedamos con las dos primeras ecuaciones, que son las del menor no nulo; la tercera es su suma y no aporta nada.

$\begin{cases} 2x+y+z=1 \\ x+2y+z=-1 \end{cases}$

Restando la segunda de la primera desaparece $z$:

$x-y=2 \Rightarrow x=y+2$

Tomamos $y=\lambda$ como parámetro y despejamos $z$ de la primera ecuación:

$2(\lambda+2)+\lambda+z=1 \Rightarrow 3\lambda+4+z=1 \Rightarrow z=-3-3\lambda$

$(x,y,z)=(\lambda+2,\;\lambda,\;-3-3\lambda), \quad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación, que es la que se ha dejado fuera:

$3(\lambda+2)+3\lambda+2(-3-3\lambda)=3\lambda+6+3\lambda-6-6\lambda=0=m$

$\textbf{b) Estudie si es posible encontrar una solución en la que } \boldsymbol{z=3}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Solo hay soluciones cuando $m=0$, así que buscamos entre las infinitas obtenidas en el apartado anterior la que cumple la condición pedida.

$z=-3-3\lambda=3 \Rightarrow -3\lambda=6 \Rightarrow \lambda=-2$

$(x,y,z)=(-2+2,\;-2,\;3)=(0,-2,3)$

Comprobamos la terna en las tres ecuaciones con $m=0$:

$2\cdot0+(-2)+3=1, \qquad 0+2(-2)+3=-1, \qquad 3\cdot0+3(-2)+2\cdot3=0$

Sí es posible, siempre que $m=0$: la solución con $z=3$ es $(0,-2,3)$. Para cualquier otro valor de $m$ el sistema no tiene ninguna solución.