Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El peso en kilos de la población de un cierto país sigue una distribución normal de media 70 y desviación típica 10. Se selecciona un individuo al azar.

a) Calcule la probabilidad de que su peso se sitúe entre 65 y 75 kilos. [1,25 puntos]

b) Se realiza una campaña de comida sana y esto repercute en el peso de la población, manteniendo la desviación típica pero ahora la probabilidad de que un individuo pese menos de 75 es $0{,}6$. ¿Cuál es la nueva media? [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}15) = 0{,}6$, $F(0{,}5) = 0{,}6915$, $F(0{,}6) = 0{,}7257$, $F(1{,}8) = 0{,}9641$.

Llamamos $X$ al peso en kilos de un individuo de la población.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(70;\,10)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que su peso se sitúe entre 65 y 75 kilos. [1,25 puntos]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-70}{10}\sim N(0,1)$

$P(65\leq X\leq75)=P\left(\dfrac{65-70}{10}\leq Z\leq\dfrac{75-70}{10}\right)=P(-0{,}5\leq Z\leq0{,}5)$

El intervalo es simétrico respecto de la media, de modo que el área central se puede escribir con un solo valor de la tabla.

$P(-0{,}5\leq Z\leq0{,}5)=2F(0{,}5)-1$

$=2\cdot0{,}6915-1=1{,}3830-1=0{,}3830$



La probabilidad de que el peso esté entre 65 y 75 kilos es $0{,}3830$, es decir, un $38{,}30\%$.

$\textbf{b) Se realiza una campaña de comida sana y esto repercute en el peso de la población, manteniendo la desviación típica pero ahora la probabilidad de que un individuo pese menos de 75 es } \boldsymbol{0{,}6}\textbf{. ¿Cuál es la nueva media? [1,25 puntos]}$

Ahora el dato conocido es la probabilidad y la incógnita es la media, así que se recorre el camino inverso: se busca en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área.

$P(X<75)=0{,}6 \Rightarrow F(z)=0{,}6 \Rightarrow z=0{,}15$



Escribimos la tipificación de 75 con la media como incógnita y despejamos:

$z=\dfrac{75-\mu}{10}=0{,}15$

$75-\mu=1{,}5 \Rightarrow \mu=75-1{,}5=73{,}5$

La nueva media es de 73,5 kilos, superior a los 70 de partida, de modo que la campaña no ha reducido el peso de la población sino que lo ha aumentado.