Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados dos planos $\pi \equiv x + y + z = 3$, $\pi' \equiv x + y = 3$ y el punto $A = (2, 1, 6)$.

a) Calcule un vector director y un punto de la recta $r$ intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$. [0,75 puntos]

b) Calcule el punto $P$ de $\pi$ tal que el segmento $AP$ es perpendicular al plano $\pi$. [1 punto]

c) Calcule el punto $A'$ simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule un vector director y un punto de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ intersección de los planos } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi'}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La recta intersección está contenida en los dos planos, de modo que su director es perpendicular a las dos normales: se obtiene con el producto vectorial.

$\vec n_{\pi}=(1,1,1), \qquad \vec n_{\pi'}=(1,1,0)$

$\vec v_{r}=\vec n_{\pi}\times\vec n_{\pi'}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=(0-1)\vec i-(0-1)\vec j+(1-1)\vec k=(-1,1,0)$



Para un punto de la recta resolvemos el sistema que forman las dos ecuaciones. Restándolas se obtiene $z$:

$(x+y+z)-(x+y)=3-3 \Rightarrow z=0$

Queda $x+y=3$, con infinitas soluciones; tomamos la más sencilla:

$y=0 \Rightarrow x=3 \Rightarrow P_{r}(3,0,0)$

La recta $r$ pasa por $(3,0,0)$ y tiene director $(-1,1,0)$.

$\textbf{b) Calcule el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ de } \boldsymbol{\pi}\textbf{ tal que el segmento } \boldsymbol{AP}\textbf{ es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1 punto]}$

Que el segmento sea perpendicular al plano significa que $P$ es el pie de la perpendicular trazada desde $A$, así que construimos la recta que pasa por $A$ con la dirección del normal y la cortamos con el plano.

$s:\begin{cases} x=2+t \\ y=1+t \\ z=6+t \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}$



Sustituimos en la ecuación del plano:

$(2+t)+(1+t)+(6+t)=3$

$3t+9=3 \Rightarrow t=-2$

$P(2-2,\,1-2,\,6-2)=P(0,-1,4)$

Comprobamos que pertenece al plano:

$0-1+4=3$

El punto pedido es $P(0,-1,4)$.

$\textbf{c) Calcule el punto } \boldsymbol{A'}\textbf{ simétrico de } \boldsymbol{A}\textbf{ respecto del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Basta razonar que el pie de la perpendicular calculado en el apartado anterior es el punto medio del segmento $\overline{AA'}$.

$P=\left(\dfrac{2+A'_{x}}{2},\dfrac{1+A'_{y}}{2},\dfrac{6+A'_{z}}{2}\right)=(0,-1,4)$

$\begin{cases} \dfrac{2+A'_{x}}{2}=0 \Rightarrow A'_{x}=-2 \\[2pt] \dfrac{1+A'_{y}}{2}=-1 \Rightarrow A'_{y}=-3 \\[2pt] \dfrac{6+A'_{z}}{2}=4 \Rightarrow A'_{z}=2 \end{cases}$

El simétrico de $A$ respecto del plano $\pi$ es $A'(-2,-3,2)$.