Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $A = (1, 0, 1)$ y $B = (2, 1, 2)$, y $s$ la recta $s \equiv \dfrac{x-2}{1} = \dfrac{y-2}{-1} = \dfrac{z}{1}$.

a) Indique la posición relativa de $r$ y $s$. [0,75 puntos]

b) Calcule un plano paralelo a $r$ y que contiene a $s$. [0,75 puntos]

c) Calcule la distancia entre las rectas $r$ y $s$. [1 punto]

$\textbf{a) Indique la posición relativa de } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Empezamos escribiendo un punto y un vector director de cada recta. Los de $s$ se leen en su ecuación continua, y el de $r$ es el vector que une los dos puntos dados.

$\vec v_{r}=\overrightarrow{AB}=(2,1,2)-(1,0,1)=(1,1,1), \qquad A(1,0,1)$

$P_{s}(2,2,0), \qquad \vec v_{s}=(1,-1,1)$

Los directores no son proporcionales, porque $\frac{1}{1}\neq\frac{1}{-1}$, así que las rectas no son paralelas ni coincidentes: o se cortan o se cruzan. Lo decide el producto mixto de los dos directores con el vector que une un punto de cada recta.

$\overrightarrow{AP_{s}}=(2,2,0)-(1,0,1)=(1,2,-1)$

$\left[\vec v_{r},\vec v_{s},\overrightarrow{AP_{s}}\right]=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$

$=1(1-2)-1(-1-1)+1(2+1)=-1+2+3=4\neq0$

Al no anularse el producto mixto, los tres vectores no son coplanarios y las rectas $r$ y $s$ se cruzan.



$\textbf{b) Calcule un plano paralelo a } \boldsymbol{r}\textbf{ y que contiene a } \boldsymbol{s}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El plano buscado contiene a $s$ y es paralelo a $r$, de modo que los dos directores son direcciones suyas y su vector normal es el producto vectorial de ambos.

$\vec n=\vec v_{r}\times\vec v_{s}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=(1+1)\vec i-(1-1)\vec j+(-1-1)\vec k=(2,0,-2)$

Simplificamos dividiendo entre 2 e imponemos que el plano pase por $P_{s}(2,2,0)$:

$\vec n=(1,0,-1) \Rightarrow \pi: x-z+D=0$

$2-0+D=0 \Rightarrow D=-2$

Comprobamos que $r$ no está contenida en él sustituyendo $A(1,0,1)$:

$1-1-2=-2\neq0$

El plano pedido es $\pi: x-z=2$.

$\textbf{c) Calcule la distancia entre las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s}\textbf{. [1 punto]}$

Para dos rectas que se cruzan, la distancia es el cociente entre el valor absoluto del producto mixto y el módulo del producto vectorial de los directores; los dos están ya calculados.

$d(r,s)=\dfrac{\left|\left[\vec v_{r},\vec v_{s},\overrightarrow{AP_{s}}\right]\right|}{\left|\vec v_{r}\times\vec v_{s}\right|}$

$\left|\vec v_{r}\times\vec v_{s}\right|=\sqrt{2^{2}+0^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

$d(r,s)=\dfrac{4}{2\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

La distancia entre las dos rectas es de $\sqrt{2}\approx1{,}41$ unidades de longitud. Se puede comprobar midiendo desde $A$ hasta el plano del apartado b), que contiene a $s$ y es paralelo a $r$:

$d(A,\pi)=\dfrac{|1-1-2|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$