Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Se considera la función $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$.

a) Calcule una primitiva de $f(x)$ que pase por el punto $(-1, 0)$. Sugerencia: puede utilizar el cambio de variable $t = 1 - x^2$. [1,75 puntos]

b) Calcule $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule una primitiva de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ que pase por el punto } \boldsymbol{(-1,0)}\textbf{. [1,75 puntos]}$

Antes de integrar conviene fijarse en el dominio: el radicando ha de ser mayor o igual que cero.

$1-x^{2}\geq0 \Rightarrow \operatorname{Dom} f=[-1,1]$

Seguimos la sugerencia del enunciado y hacemos el cambio de variable indicado.

$\begin{cases} t=1-x^{2} \\ dt=-2x\,dx \Rightarrow x\,dx=-\dfrac{dt}{2} \end{cases}$

$\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int\sqrt{t}\left(-\dfrac{dt}{2}\right)=-\dfrac{1}{2}\int t^{1/2}\,dt$

$=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{t^{3/2}}{3/2}+C=-\dfrac{1}{3}t^{3/2}+C=-\dfrac{1}{3}\left(1-x^{2}\right)^{3/2}+C$

Imponemos ahora que la primitiva pase por el punto dado, que es un extremo del dominio:

$F(-1)=-\dfrac{1}{3}\left(1-1\right)^{3/2}+C=0+C=0 \Rightarrow C=0$

La primitiva pedida es $F(x)=-\frac{1}{3}\left(1-x^{2}\right)^{3/2}=-\frac{1}{3}\sqrt{\left(1-x^{2}\right)^{3}}$.

$\textbf{b) Calcule } \boldsymbol{\int_0^1 f(x)\,dx}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Aplicamos la regla de Barrow con la primitiva obtenida en el apartado anterior; el intervalo $[0,1]$ está dentro del dominio.

$\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\left[-\dfrac{1}{3}\left(1-x^{2}\right)^{3/2}\right]_{0}^{1}$

$=-\dfrac{1}{3}(1-1)^{3/2}+\dfrac{1}{3}(1-0)^{3/2}=0+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$



La integral vale $\frac{1}{3}$. Como la función es positiva en todo el intervalo, ese número es además el área del recinto que la curva encierra con el eje de abscisas entre $x=0$ y $x=1$.