Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Se considera la función $f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x - 1}$.

a) Calcule el dominio de $f$ y las asíntotas, en caso de que tenga. [1 punto]

b) Estudie la existencia de máximos y mínimos, así como los intervalos de concavidad y convexidad. [1 punto]

c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de $f$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el dominio de } \boldsymbol{f}\textbf{ y las asíntotas, en caso de que tenga. [1 punto]}$

La función es racional, así que del dominio hay que quitar los valores que anulan el denominador.

$x-1=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}-\{1\}$

Asíntotas verticales. El numerador vale 4 en $x=1$, luego no se cancela con el denominador y allí hay una.

$\lim_{x\to1^{-}}\dfrac{x^{2}+3}{x-1}=\dfrac{4}{0^{-}}=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^{+}}\dfrac{x^{2}+3}{x-1}=\dfrac{4}{0^{+}}=+\infty$

$x=1 \text{ es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, de modo que la función no tiende a ningún número finito y no hay ninguna.

Asíntota oblicua. El numerador supera al denominador en exactamente un grado, así que sí la hay; efectuamos la división entera.

$x^{2}+3=(x-1)(x+1)+4 \Rightarrow f(x)=x+1+\dfrac{4}{x-1}$

Como $\frac{4}{x-1}\to0$ cuando $x\to\pm\infty$:

$y=x+1 \text{ es asíntota oblicua}$

$\textbf{b) Estudie la existencia de máximos y mínimos, así como los intervalos de concavidad y convexidad. [1 punto]}$

Derivamos la expresión simplificada del apartado anterior, que es mucho más cómoda que el cociente original.

$f'(x)=1-\dfrac{4}{(x-1)^{2}}=\dfrac{(x-1)^{2}-4}{(x-1)^{2}}=\dfrac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow (x-3)(x+1)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=-1 \\ x=3 \end{cases}$

Decidimos el carácter de cada extremo con la segunda derivada.

$f''(x)=\dfrac{8}{(x-1)^{3}}$

$f''(-1)=\dfrac{8}{-8}=-1<0 \Rightarrow \text{máximo relativo}$

$f''(3)=\dfrac{8}{8}=1>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo}$

$f(-1)=\dfrac{1+3}{-2}=-2, \qquad f(3)=\dfrac{9+3}{2}=6$

Para la curvatura basta con el signo de la segunda derivada, que nunca se anula y solo cambia al atravesar el punto que no está en el dominio.

$x<1 \Rightarrow (x-1)^{3}<0 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow f \text{ es cóncava}$

$x>1 \Rightarrow (x-1)^{3}>0 \Rightarrow f''(x)>0 \Rightarrow f \text{ es convexa}$

Hay un máximo relativo en $(-1,-2)$ y un mínimo relativo en $(3,6)$; la función es cóncava en $(-\infty,1)$ y convexa en $(1,+\infty)$, y no tiene puntos de inflexión.

$\textbf{c) A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Merece la pena observar que el máximo relativo queda por debajo del mínimo relativo, cosa posible porque entre los dos hay una asíntota vertical. La rama de la izquierda sube desde la asíntota oblicua hasta el máximo y luego cae a $-\infty$; la de la derecha baja desde $+\infty$ hasta el mínimo y después se acerca a esa misma oblicua.