Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

$\begin{cases} -x + 2y = -1 \\ -x + 2y + 2z = 1 \\ ax - 2y + z = 2 \end{cases}$

a) Discuta el sistema según los valores de $a$. [1 punto]

b) Estudie si es posible encontrar un valor de $a$ para el cual la solución del sistema verifique que $x = 0$. [0,75 puntos]

c) Si $a = 0$, resuelva el sistema si es posible. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1 punto]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, que desarrollamos por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ a & -2 & 1 \end{vmatrix}=-1\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ a & 1 \end{vmatrix}$

$=-1(2+4)-2(-1-2a)=-6+2+4a=4a-4=4(a-1)$

$|A|=0 \Rightarrow a=1$

Si $a\neq1$:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Si $a=1$, el determinante se anula. En la matriz de coeficientes queda un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}=-2\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

Orlamos ese menor en la ampliada con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix}=-1(4-1)-0+(-1)(-1-2)=-3+3=0$

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3 \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

El sistema es compatible determinado salvo para $a=1$, en cuyo caso es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\textbf{b) Estudie si es posible encontrar un valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para el cual la solución del sistema verifique que } \boldsymbol{x=0}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Conviene resolver el sistema dejando el parámetro sin fijar. Restando la primera ecuación de la segunda desaparecen $x$ e $y$:

$(-x+2y+2z)-(-x+2y)=1-(-1) \Rightarrow 2z=2 \Rightarrow z=1$

Llevamos ese valor a la tercera ecuación y la sumamos a la primera:

$ax-2y+1=2 \Rightarrow ax-2y=1$

$(-x+2y)+(ax-2y)=-1+1 \Rightarrow (a-1)x=0$

Aquí está la clave: el producto $(a-1)x$ es cero, de modo que o bien $a=1$, o bien $x=0$.

Si $a\neq1$, necesariamente $x=0$, y entonces $2y=-1$, es decir, $y=-\frac{1}{2}$.

$(x,y,z)=\left(0,-\dfrac{1}{2},1\right)$

Sí es posible, y de hecho ocurre para todo $a\neq1$: la solución única del sistema es siempre $\left(0,-\frac{1}{2},1\right)$, que ya cumple $x=0$. Para $a=1$ el sistema tiene infinitas soluciones y una de ellas es también esa.

$\textbf{c) Si } \boldsymbol{a=0}\textbf{, resuelva el sistema si es posible. [0,75 puntos]}$

Como $a=0\neq1$, el sistema es compatible determinado y su solución es la obtenida en el apartado anterior.

$\begin{cases} -x+2y=-1 \\ -x+2y+2z=1 \\ -2y+z=2 \end{cases}$

$z=1, \qquad -2y+1=2 \Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}, \qquad -x-1=-1 \Rightarrow x=0$

La solución para $a=0$ es $\left(0,-\frac{1}{2},1\right)$.