Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado $a \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones siguiente:

$\begin{cases} x - y + az = -1 \\ 2x + y = 1 \\ y + 2z = 1 \end{cases}$

a) Discuta el sistema según los valores de $a$. [1 punto]

b) Resuelva el sistema para el caso $a = -3$ si es posible. [0,75 puntos]

c) Encuentre, en caso de que exista, un valor de $a$ que verifique $x = 1$. Calcule la solución en ese caso. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Discuta el sistema según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1 punto]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius, así que empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes. Lo desarrollamos por la primera columna.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & -1 & a \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}=1\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}-2\begin{vmatrix} -1 & a \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$

$=1\cdot2-2(-2-a)=2+4+2a=2a+6=2(a+3)$

$|A|=0 \Rightarrow a=-3$

Si $a\neq-3$:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Si $a=-3$, el determinante se anula. En la matriz de coeficientes queda un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=1+2=3\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

Orlamos ese menor en la ampliada con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1(1-1)+1(2-0)-1(2-0)=0+2-2=0$

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3 \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

El sistema es compatible determinado salvo para $a=-3$, en cuyo caso es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para el caso } \boldsymbol{a=-3}\textbf{ si es posible. [0,75 puntos]}$

Por el apartado anterior sabemos que hay infinitas soluciones y que el rango es 2, así que nos quedamos con las dos ecuaciones del menor no nulo y pasamos la tercera incógnita al otro miembro como parámetro.

$z=\lambda$

$\begin{cases} x-y=-1+3\lambda \\ 2x+y=1 \end{cases}$

Sumando las dos ecuaciones desaparece $y$:

$3x=3\lambda \Rightarrow x=\lambda$

$y=1-2x=1-2\lambda$

$(x,y,z)=(\lambda,\,1-2\lambda,\,\lambda), \quad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación, que es la que se ha dejado fuera:

$y+2z=1-2\lambda+2\lambda=1$

$\textbf{c) Encuentre, en caso de que exista, un valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ que verifique } \boldsymbol{x=1}\textbf{. Calcule la solución en ese caso. [0,75 puntos]}$

Conviene fijarse primero en que la terna $(0,1,0)$ satisface las tres ecuaciones sea cual sea el valor de $a$, porque en la primera la incógnita $z$ aparece multiplicada por el parámetro y vale cero.

$0-1+a\cdot0=-1, \qquad 2\cdot0+1=1, \qquad 1+2\cdot0=1$

Por tanto, siempre que el sistema sea compatible determinado —es decir, para $a\neq-3$— su única solución es $(0,1,0)$, que tiene $x=0$. Se descartan así todos esos valores.

Queda por examinar $a=-3$, para el que el apartado anterior da infinitas soluciones. Imponemos en ellas la condición pedida:

$x=\lambda=1$

$(x,y,z)=(1,\,1-2,\,1)=(1,-1,1)$

Comprobamos la terna en las tres ecuaciones del sistema con $a=-3$:

$1-(-1)-3\cdot1=1+1-3=-1, \qquad 2\cdot1+(-1)=1, \qquad -1+2\cdot1=1$

El único valor que sirve es $a=-3$, y la solución correspondiente es $(1,-1,1)$.