Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

En un examen de acceso a Médico Interno Residente se realiza un test y se supera la prueba si se obtiene al menos 75 puntos. Suponiendo que las puntuaciones de los candidatos siguen una distribución normal de media 70 y desviación típica 10, calcule:

a) La probabilidad de que la calificación de una persona esté en el intervalo $[75, 85]$. [1,25 puntos]

b) Tras resolver las reclamaciones realizadas por los candidatos se observa que la desviación típica se mantiene pero la probabilidad de obtener más de 90 puntos es $0{,}05$. Decida si la media de calificaciones ha aumentado, ha disminuido o se ha mantenido. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}5) = 0{,}6915$, $F(0{,}95) = 0{,}8289$, $F(1{,}5) = 0{,}9332$, $F(1{,}645) = 0{,}95$, $F(1{,}8) = 0{,}9641$.

Llamamos $X$ a la puntuación obtenida por un candidato.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(70;\,10)$

$\textbf{a) La probabilidad de que la calificación de una persona esté en el intervalo } \boldsymbol{[75,85]}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Para poder usar la tabla hay que tipificar los dos extremos del intervalo, es decir, restar la media y dividir por la desviación típica.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-70}{10}\sim N(0,1)$

$P(75\leq X\leq85)=P\left(\dfrac{75-70}{10}\leq Z\leq\dfrac{85-70}{10}\right)=P(0{,}5\leq Z\leq1{,}5)$

La probabilidad de una franja es la diferencia de las dos áreas acumuladas:

$P(0{,}5\leq Z\leq1{,}5)=F(1{,}5)-F(0{,}5)$

$=0{,}9332-0{,}6915=0{,}2417$



La probabilidad de que la calificación esté entre 75 y 85 puntos es $0{,}2417$, es decir, un $24{,}17\%$.

$\textbf{b) Tras resolver las reclamaciones realizadas por los candidatos se observa que la desviación típica se mantiene pero la probabilidad de obtener más de 90 puntos es } \boldsymbol{0{,}05}\textbf{. Decida si la media de calificaciones ha aumentado, ha disminuido o se ha mantenido. [1,25 puntos]}$

Ahora el dato conocido es la probabilidad y la incógnita es la media, así que se recorre el camino inverso: se busca en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda el área complementaria.

$P(X>90)=0{,}05 \Rightarrow P(X\leq90)=1-0{,}05=0{,}95$

$F(z)=0{,}95 \Rightarrow z=1{,}645$



Escribimos la tipificación de 90 dejando la media como incógnita y despejamos:

$z=\dfrac{90-\mu}{10}=1{,}645$

$90-\mu=16{,}45 \Rightarrow \mu=90-16{,}45=73{,}55$

La nueva media es de 73,55 puntos frente a los 70 de partida, de modo que la media de calificaciones ha aumentado.