Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dados los puntos $A = (1, 0, 0)$ y $B = (-1, 4, -4)$.

a) Calcule el plano $\pi$ que hace que $A$ y $B$ sean simétricos. [1,5 puntos]

b) Calcule la distancia de $A$ a $\pi$. [0,5 puntos]

c) Calcule una ecuación continua de la recta que pasa por $A$ y $B$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que hace que } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ sean simétricos. [1,5 puntos]}$

Dos puntos son simétricos respecto de un plano cuando este es el plano mediador del segmento que los une: pasa por su punto medio y tiene al segmento como dirección normal.



El vector que une los dos puntos será el normal del plano:

$\overrightarrow{AB}=(-1,4,-4)-(1,0,0)=(-2,4,-4)$

Los vectores normales admiten simplificación, así que dividimos entre $-2$:

$\vec n_{\pi}=(1,-2,2)$

Calculamos el punto medio del segmento, que ha de pertenecer al plano:

$M=\left(\dfrac{1-1}{2},\dfrac{0+4}{2},\dfrac{0-4}{2}\right)=(0,2,-2)$

$\pi: x-2y+2z+D=0$

$M(0,2,-2)\in\pi \Rightarrow 0-4-4+D=0 \Rightarrow D=8$

El plano pedido es $\pi: x-2y+2z+8=0$.

$\textbf{b) Calcule la distancia de } \boldsymbol{A}\textbf{ a } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Aplicamos la fórmula de la distancia de un punto a un plano.

$d(A,\pi)=\dfrac{|1\cdot1-2\cdot0+2\cdot0+8|}{\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+2^{2}}}=\dfrac{9}{\sqrt{9}}=\dfrac{9}{3}=3$

La distancia de $A$ al plano es de 3 unidades de longitud. Como $\pi$ es el plano mediador, esa es también la distancia de $B$ al plano y la mitad de la que separa a los dos puntos.

$\textbf{c) Calcule una ecuación continua de la recta que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El vector director de la recta es el que une los dos puntos, ya calculado y simplificado en el apartado a).

$\vec v=(1,-2,2)$

Con el punto $A(1,0,0)$ escribimos la ecuación continua:

$\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{-2}=\dfrac{z}{2}$

Esa es la recta que pasa por $A$ y $B$; es además perpendicular al plano del apartado a), como corresponde a dos puntos simétricos respecto de él.