Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Dada la recta $r \equiv \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = 1 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv ax + 2y + (a-3)z = 4$.

a) Calcule $a$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos y, en ese caso, calcule la distancia de $r$ a $\pi$. [1,25 puntos]

b) Para $a = 1$, calcule el plano $\pi'$ que contiene a $r$ y es perpendicular a $\pi$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi}\textbf{ sean paralelos y, en ese caso, calcule la distancia de } \boldsymbol{r}\textbf{ a } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Una recta es paralela a un plano cuando su vector director es perpendicular al normal del plano y, además, la recta no está contenida en él. Empezamos leyendo los dos vectores.

$\vec v_{r}=(1,-1,0), \qquad \vec n_{\pi}=(a,2,a-3)$

Imponemos que el producto escalar se anule:

$\vec v_{r}\cdot\vec n_{\pi}=a\cdot1+2\cdot(-1)+(a-3)\cdot0=a-2$

$a-2=0 \Rightarrow a=2$

Con ese valor, $\pi: 2x+2y-z=4$. Comprobamos que la recta no está contenida en el plano sustituyendo su punto de paso $P_{r}(2,-1,1)$:

$2\cdot2+2\cdot(-1)-1=4-2-1=1\neq4$

La recta es, pues, paralela al plano y no está contenida en él.



Al ser paralelos, todos los puntos de $r$ están a la misma distancia de $\pi$, así que basta medirla desde $P_{r}$.

$d(r,\pi)=d(P_{r},\pi)=\dfrac{|2\cdot2+2\cdot(-1)-1\cdot1-4|}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+(-1)^{2}}}$

$=\dfrac{|-3|}{\sqrt{9}}=\dfrac{3}{3}=1$

Para $a=2$ la recta es paralela al plano y la distancia entre ambos es de 1 unidad de longitud.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{, calcule el plano } \boldsymbol{\pi'}\textbf{ que contiene a } \boldsymbol{r}\textbf{ y es perpendicular a } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Con $a=1$ el plano de partida es $\pi: x+2y-2z=4$, de normal $\vec n_{\pi}=(1,2,-2)$.

El plano buscado contiene a $r$, luego su normal es perpendicular a $\vec v_{r}$; y es perpendicular a $\pi$, luego su normal también lo es a $\vec n_{\pi}$. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial.

$\vec n_{\pi'}=\vec v_{r}\times\vec n_{\pi}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix}$

$=(2-0)\vec i-(-2-0)\vec j+(2+1)\vec k=(2,2,3)$

Escribimos la ecuación general e imponemos que pase por el punto de la recta $P_{r}(2,-1,1)$:

$\pi': 2x+2y+3z+D=0$

$2\cdot2+2\cdot(-1)+3\cdot1+D=0 \Rightarrow 4-2+3+D=0 \Rightarrow D=-5$

El plano pedido es $\pi': 2x+2y+3z-5=0$.