Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Dadas las funciones $f(x) = -x^2$ y $g(x) = x^2 + x - 1$ se pide:

a) Calcule los puntos de corte de ambas curvas y dibuje el recinto limitado por ambas funciones. [1,25 puntos]

b) Calcule el área de dicho recinto. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule los puntos de corte de ambas curvas y dibuje el recinto limitado por ambas funciones. [1,25 puntos]}$

Los puntos de corte se obtienen igualando las dos funciones, porque en ellos las dos toman el mismo valor.

$-x^{2}=x^{2}+x-1$

$0=2x^{2}+x-1$

$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{4}=\dfrac{-1\pm3}{4} \Rightarrow \begin{cases} x_{1}=-1 \\ x_{2}=\dfrac{1}{2} \end{cases}$

Calculamos las ordenadas sustituyendo en cualquiera de las dos funciones:

$f(-1)=-1, \qquad f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{4}$

Las curvas se cortan en $(-1,-1)$ y en $\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{4}\right)$.

Para dibujar el recinto conviene reconocer las dos parábolas. La de $f$ tiene el coeficiente principal negativo, así que abre hacia abajo, y su vértice es el origen. La de $g$ abre hacia arriba y su vértice está en:

$x_{V}=\dfrac{-1}{2\cdot1}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow V\left(-\dfrac{1}{2},-\dfrac{5}{4}\right)$

Evaluando en un punto intermedio se ve cuál va por encima dentro del recinto:

$x=0: \quad f(0)=0 > g(0)=-1$



$\textbf{b) Calcule el área de dicho recinto. [1,25 puntos]}$

El área se obtiene integrando, entre las abscisas de los puntos de corte, la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo.

$\mathcal{A}=\int_{-1}^{1/2}\left[(-x^{2})-(x^{2}+x-1)\right]dx$

$=\int_{-1}^{1/2}\left(-2x^{2}-x+1\right)dx$

$=\left[-\dfrac{2x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}+x\right]_{-1}^{1/2}$

$=\left(-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}-1\right)$

$=\left(-\dfrac{1}{12}-\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}\right)-\left(-\dfrac{5}{6}\right)=\dfrac{7}{24}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{9}{8}$

El área del recinto limitado por las dos parábolas es de $\frac{9}{8}=1{,}125$ unidades de área.