Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

En una comunidad autónoma se estudia la cantidad media de basura que se genera por habitante durante dos meses. Se observa que sigue una distribución normal de media 85 kg y desviación típica 15 kg.

a) ¿Qué porcentaje de población genera más de 90 kg cada dos meses? [0,75 puntos]

b) Si se toma una muestra de 10000 habitantes, ¿cuántos generan menos de 90 kg de basura? [0,75 puntos]

c) Se hace una campaña de concienciación y se observa que de las 10000 personas de la muestra, 5596 generan menos de 70 kg de basura. Suponiendo que se mantiene la desviación típica, ¿cuál es la nueva media? ¿Ha funcionado la campaña? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}15) = 0{,}5596$, $F(0{,}3333) = 0{,}6294$, $F(0{,}385) = 0{,}65$, $F(0{,}5596) = 0{,}7112$, $F(0{,}6294) = 0{,}7356$, $F(0{,}8159) = 0{,}7939$, $F(0{,}9) = 0{,}8159$, $F(1{,}28) = 0{,}9$.

Llamamos $X$ a la cantidad de basura, en kilogramos, que genera un habitante en dos meses.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(85;\,15)$

$\textbf{a) ¿Qué porcentaje de población genera más de 90 kg cada dos meses? [0,75 puntos]}$

Para usar la tabla hay que tipificar la variable, es decir, restar la media y dividir por la desviación típica.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-85}{15}\sim N(0,1)$

$P(X>90)=P\left(Z>\dfrac{90-85}{15}\right)=P(Z>0{,}3333)$

La tabla da el área acumulada a la izquierda, así que pasamos al suceso contrario.

$P(Z>0{,}3333)=1-F(0{,}3333)=1-0{,}6294=0{,}3706$



Un $37{,}06\%$ de la población genera más de 90 kg de basura cada dos meses.

$\textbf{b) Si se toma una muestra de 10000 habitantes, ¿cuántos generan menos de 90 kg de basura? [0,75 puntos]}$

Generar menos de 90 kg es el suceso contrario del anterior, cuya probabilidad ya está tipificada.

$P(X<90)=F(0{,}3333)=0{,}6294$

El número esperado de habitantes se obtiene multiplicando esa proporción por el tamaño de la muestra.

$10000\cdot0{,}6294=6294$

De los 10000 habitantes de la muestra, 6294 generan menos de 90 kg de basura.

$\textbf{c) Se hace una campaña de concienciación y se observa que de las 10000 personas de la muestra, 5596 generan menos de 70 kg de basura. Suponiendo que se mantiene la desviación típica, ¿cuál es la nueva media? ¿Ha funcionado la campaña? [1 punto]}$

Ahora el dato conocido es la probabilidad y la incógnita es la media, así que se recorre el camino inverso: se busca en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área.

$P(X<70)=\dfrac{5596}{10000}=0{,}5596$

$F(z)=0{,}5596 \Rightarrow z=0{,}15$



Escribimos la tipificación con la media como incógnita y despejamos:

$z=\dfrac{70-\mu}{15}=0{,}15$

$70-\mu=2{,}25 \Rightarrow \mu=70-2{,}25=67{,}75$

La nueva media es de $67{,}75\ \text{kg}$, muy por debajo de los $85\ \text{kg}$ de partida, de modo que la campaña sí ha funcionado.