Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Se considera la función $f(x) = \dfrac{x^2-4}{1-x}$.

a) Calcule el dominio de la función $f$ y sus asíntotas. [1 punto]

b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de $f$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el dominio de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y sus asíntotas. [1 punto]}$

La función es racional, así que quedan fuera del dominio los valores que anulan el denominador.

$1-x=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}-\{1\}$

Asíntotas verticales. El numerador no se anula en $x=1$, luego ahí hay una.

$\lim_{x\to1^{-}}\dfrac{x^{2}-4}{1-x}=\dfrac{-3}{0^{+}}=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^{+}}\dfrac{x^{2}-4}{1-x}=\dfrac{-3}{0^{-}}=+\infty$

$x=1 \text{ es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, de modo que la función no tiende a ningún número finito y no hay asíntota horizontal.

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}-4}{1-x}=-\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{2}-4}{1-x}=+\infty$

Asíntota oblicua $y=mx+n$. Al superar el numerador al denominador en exactamente un grado, sí la hay, y basta efectuar la división entera.

$x^{2}-4=(x-1)(x+1)-3 \Rightarrow \dfrac{x^{2}-4}{1-x}=\dfrac{(x-1)(x+1)-3}{-(x-1)}=-x-1+\dfrac{3}{x-1}$

Como $\frac{3}{x-1}\to0$ cuando $x\to\pm\infty$:

$y=-x-1 \text{ es asíntota oblicua}$

$\textbf{b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y los puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]}$

Derivamos aplicando la regla del cociente y estudiamos el signo del resultado.

$f'(x)=\dfrac{2x(1-x)-(x^{2}-4)(-1)}{(1-x)^{2}}=\dfrac{2x-2x^{2}+x^{2}-4}{(1-x)^{2}}=\dfrac{-x^{2}+2x-4}{(1-x)^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow -x^{2}+2x-4=0 \Rightarrow x^{2}-2x+4=0$

$\Delta=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot4=4-16=-12<0$

El numerador no tiene raíces reales. Como además su coeficiente principal es negativo, $-x^{2}+2x-4<0$ para todo $x$, y el denominador es un cuadrado positivo, de modo que $f'(x)<0$ en todo el dominio.

$f \text{ es decreciente en } (-\infty,1) \text{ y en } (1,+\infty), \text{ sin máximos ni mínimos relativos}$

Para los puntos de inflexión derivamos otra vez, partiendo de la forma $f(x)=-x-1+3(x-1)^{-1}$ obtenida en el apartado anterior, que es mucho más cómoda.

$f'(x)=-1-3(x-1)^{-2}$

$f''(x)=6(x-1)^{-3}=\dfrac{6}{(x-1)^{3}}$

La segunda derivada no se anula nunca, luego no hay puntos de inflexión. Su signo cambia al atravesar $x=1$, que no está en el dominio:

$x<1 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow f \text{ es cóncava}; \qquad x>1 \Rightarrow f''(x)>0 \Rightarrow f \text{ es convexa}$

$\textbf{c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Añadimos los cortes con los ejes para situar la curva.

$y=0 \Rightarrow x^{2}-4=0 \Rightarrow x=\pm2 \Rightarrow (-2,0) \text{ y } (2,0)$

$x=0 \Rightarrow y=\dfrac{-4}{1}=-4 \Rightarrow (0,-4)$

La rama de la izquierda baja desde la asíntota oblicua hasta $-\infty$ al acercarse a $x=1$, y la de la derecha desciende desde $+\infty$ pegándose después a esa misma asíntota. Es coherente con que la función decrezca en los dos intervalos.