Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una fábrica produce tazas, platos y teteras de cerámica. Por cada uno de estos productos se utiliza una cantidad fija de material, que se introduce en la máquina de la cual sale la pieza preparada para el embalaje. En cada taza la máquina utiliza 5 minutos, 4 en cada plato y 8 en cada tetera. El coste del material utilizado es 3 € cada taza, 4 € cada plato y 3 € cada tetera. Se hace un estudio de la producción durante 50 minutos y se calcula que el coste es de 26 €.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]

b) Suponiendo que en estos 50 minutos se fabricaron en total exactamente 8 piezas, calcule, si es posible, cuántas unidades se produjeron de cada tipo. [1 punto]

c) Si se consigue rebajar el tiempo de elaboración de cada tetera de 8 a 5 minutos, ¿sería posible fabricar exactamente 10 piezas? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice el problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al número de tazas, platos y teteras que se fabrican. El enunciado da dos informaciones que se pueden escribir como ecuaciones: el tiempo total de máquina y el coste total del material.

El tiempo empleado son 5 minutos por taza, 4 por plato y 8 por tetera, y en total 50 minutos:

$5x+4y+8z=50$

El coste es de 3 € por taza, 4 € por plato y 3 € por tetera, y en total 26 €:

$3x+4y+3z=26$

El sistema pedido, escrito en forma matricial, es:

$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 8 \\ 3 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 50 \\ 26 \end{pmatrix}$

Se trata de dos ecuaciones con tres incógnitas, así que por sí solo no determina la producción.

$\textbf{b) Suponiendo que en estos 50 minutos se fabricaron en total exactamente 8 piezas, calcule, si es posible, cuántas unidades se produjeron de cada tipo. [1 punto]}$

La nueva condición añade una tercera ecuación, la del número total de piezas, y con ella el sistema ya es cuadrado.

$\begin{cases} 5x+4y+8z=50 \\ 3x+4y+3z=26 \\ x+y+z=8 \end{cases}$

Estudiamos el determinante de la matriz de coeficientes para saber de qué tipo es el sistema.

$|A|=\begin{vmatrix} 5 & 4 & 8 \\ 3 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=5(4-3)-4(3-3)+8(3-4)=5-0-8=-3\neq0$

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Restamos la segunda ecuación de la primera, que tienen el mismo coeficiente en $y$:

$2x+5z=24$

Multiplicamos la tercera por 4 y se la restamos a la segunda, para eliminar $y$ otra vez:

$3x+4y+3z-4(x+y+z)=26-32 \Rightarrow -x-z=-6 \Rightarrow x+z=6$

$\begin{cases} 2x+5z=24 \\ x=6-z \end{cases} \Rightarrow 2(6-z)+5z=24 \Rightarrow 12+3z=24 \Rightarrow z=4$

$x=6-4=2, \qquad y=8-2-4=2$

Se produjeron 2 tazas, 2 platos y 4 teteras.

$\textbf{c) Si se consigue rebajar el tiempo de elaboración de cada tetera de 8 a 5 minutos, ¿sería posible fabricar exactamente 10 piezas? [0,75 puntos]}$

Cambia el coeficiente de $z$ en la ecuación del tiempo y el término independiente de la del número de piezas; las demás condiciones se mantienen.

$\begin{cases} 5x+4y+5z=50 \\ 3x+4y+3z=26 \\ x+y+z=10 \end{cases}$

$|A|=\begin{vmatrix} 5 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=5(4-3)-4(3-3)+5(3-4)=5-0-5=0$

Como el determinante se anula, hay que comparar el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. En la primera, un menor de orden 2 no nulo da rango 2:

$\begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}=20-12=8\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=2$

En la ampliada orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} 5 & 4 & 50 \\ 3 & 4 & 26 \\ 1 & 1 & 10 \end{vmatrix}=5(40-26)-4(30-26)+50(3-4)=70-16-50=4\neq0$

$\operatorname{rg}(A)=2\neq3=\operatorname{rg}(A^{*}) \Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Se ve también sin determinantes: la primera ecuación se puede escribir $5(x+z)+4y=50$ y la tercera da $x+z=10-y$, de donde $50-5y+4y=50$ y por tanto $y=0$; llevándolo a la segunda, $3(x+z)=26$, es decir, $x+z=\frac{26}{3}$, que contradice $x+z=10$.

No sería posible: con ese tiempo de elaboración no hay ninguna producción de 10 piezas que emplee exactamente 50 minutos y cueste exactamente 26 €.