Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Una empresa cafetera realiza una encuesta a 10000 individuos sobre el tipo de café que compran. Los resultados son: 8000 dicen comprar café torrefacto, 4000 café natural y 3000 ambos tipos de café.

a) Si se elige un individuo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre alguno de los dos tipos de café? [0,5 puntos]

b) Se selecciona un individuo y se le pregunta si compra café natural. Se repite la operación 100 veces, pudiendo repetirse el individuo seleccionado. Calcule, aproximando por una distribución normal si fuese posible, la probabilidad de que no más de 50 individuos compren café natural. [1 punto]

c) Si en el apartado anterior sólo se seleccionasen 10 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que 5 compren café natural? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}15) = 0{,}5596$, $F(2{,}0412) = 0{,}9793$, $F(0{,}9793) = 0{,}8340$, $F(0{,}5596) = 0{,}7112$, $F(0{,}6294) = 0{,}7356$, $F(0{,}8159) = 0{,}7939$, $F(0{,}9) = 0{,}8159$, $F(1{,}28) = 0{,}9$.

$\textbf{a) Si se elige un individuo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que compre alguno de los dos tipos de café? [0,5 puntos]}$

Llamamos $T$ a comprar café torrefacto y $N$ a comprar café natural. Las frecuencias del enunciado se pasan a probabilidades dividiendo entre los 10000 encuestados.

$P(T)=\dfrac{8000}{10000}=0{,}8, \quad P(N)=\dfrac{4000}{10000}=0{,}4, \quad P(T\cap N)=\dfrac{3000}{10000}=0{,}3$

Comprar alguno de los dos tipos es el suceso unión, y hay que restar la intersección para no contar dos veces a quienes compran los dos.

$P(T\cup N)=P(T)+P(N)-P(T\cap N)$

$P(T\cup N)=0{,}8+0{,}4-0{,}3=0{,}9$

La probabilidad de que un individuo elegido al azar compre alguno de los dos tipos de café es $0{,}9$.

$\textbf{b) Se selecciona un individuo y se le pregunta si compra café natural. Se repite la operación 100 veces, pudiendo repetirse el individuo seleccionado. Calcule, aproximando por una distribución normal si fuese posible, la probabilidad de que no más de 50 individuos compren café natural. [1 punto]}$

Se repite 100 veces una prueba con dos resultados y la misma probabilidad de éxito en todas, porque el individuo vuelve al grupo. La variable $X$ que cuenta los que compran café natural es, por tanto, binomial.

$X\sim B(100;\,0{,}4)$

La aproximación por una normal es válida cuando $np$ y $nq$ superan 5, cosa que aquí se cumple sobradamente.

$np=100\cdot0{,}4=40>5, \qquad nq=100\cdot0{,}6=60>5$

$\mu=np=40, \qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{100\cdot0{,}4\cdot0{,}6}=\sqrt{24}\approx4{,}90$

$X\approx X'\sim N(40;\,4{,}90)$

Tipificamos el valor 50 para poder usar la tabla:

$P(X\leq50)=P\left(Z\leq\dfrac{50-40}{4{,}90}\right)=P(Z\leq2{,}0412)$

$P(Z\leq2{,}0412)=F(2{,}0412)=0{,}9793$



La probabilidad de que no más de 50 de los 100 individuos compren café natural es $0{,}9793$, es decir, un $97{,}93\%$.

$\textbf{c) Si en el apartado anterior sólo se seleccionasen 10 individuos, ¿cuál es la probabilidad de que 5 compren café natural? [1 punto]}$

Con solo 10 pruebas ya no se cumple la condición de la aproximación normal, así que se calcula la probabilidad directamente con la función de masa de la binomial.

$X\sim B(10;\,0{,}4)$

$P(X=5)=\binom{10}{5}(0{,}4)^{5}(0{,}6)^{5}$

$\binom{10}{5}=\dfrac{10!}{5!\,5!}=252$

$P(X=5)=252\cdot0{,}01024\cdot0{,}07776=0{,}2007$

La probabilidad de que exactamente 5 de los 10 individuos compren café natural es $0{,}2007$, es decir, un $20{,}07\%$.