Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Se consideran los puntos $A = (1, 1, 1)$, $B = (1, 0, 2)$, $C = (-1, 1, 3)$ y $D = (-1, 0, 1)$.

a) Estudie si existe un plano que contenga a los cuatro puntos. [0,75 puntos]

b) Calcule la recta $r$ que pasa por $D$ y es perpendicular al plano $\pi$ que contiene a $A$, $B$ y $C$. [0,75 puntos]

c) Calcule el punto $P$ intersección de la recta $r \equiv x + 1 = -y = z - 1$ y el plano $\pi \equiv x - y - z = 1$ obtenidos en los apartados anteriores. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie si existe un plano que contenga a los cuatro puntos. [0,75 puntos]}$

Cuatro puntos están en un mismo plano exactamente cuando los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres son linealmente dependientes, es decir, cuando su determinante se anula.

$\overrightarrow{AB}=(0,-1,1), \quad \overrightarrow{AC}=(-2,0,2), \quad \overrightarrow{AD}=(-2,-1,0)$

$\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & 0 \end{vmatrix}=0(0+2)+1(0+4)+1(2-0)=4+2=6\neq0$

Los tres vectores son linealmente independientes, luego no existe ningún plano que contenga a los cuatro puntos: $D$ queda fuera del plano determinado por $A$, $B$ y $C$.



$\textbf{b) Calcule la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ que pasa por } \boldsymbol{D}\textbf{ y es perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que contiene a } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Necesitamos primero el plano $\pi$. Un vector normal suyo es el producto vectorial de dos de los lados del triángulo $ABC$, que ya tenemos calculados.

$\vec n_{\pi}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & -1 & 1 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix}=(-2,-2,-2)$

Como los vectores normales se pueden simplificar dividiendo por un número, tomamos $\vec n_{\pi}=(1,1,1)$ e imponemos que $A(1,1,1)$ pertenezca al plano.

$\pi: x+y+z+D=0 \Rightarrow 1+1+1+D=0 \Rightarrow D=-3$

$\pi: x+y+z-3=0$

La recta pedida pasa por $D(-1,0,1)$ y, por ser perpendicular al plano, tiene como director el normal de este.

$r:\begin{cases} x=-1+\mu \\ y=\mu \\ z=1+\mu \end{cases}, \quad \mu\in\mathbb{R} \qquad \text{o bien} \qquad r: x+1=y=z-1$

$\textbf{c) Calcule el punto } \boldsymbol{P}\textbf{ intersección de la recta } \boldsymbol{r\equiv x+1=-y=z-1}\textbf{ y el plano } \boldsymbol{\pi\equiv x-y-z=1}\textbf{ obtenidos en los apartados anteriores. [1 punto]}$

Trabajamos con la recta y el plano que el propio apartado escribe. Pasamos la recta a paramétricas igualando las tres expresiones a un parámetro $t$ y sustituimos en la ecuación del plano.

$x+1=-y=z-1=t \Rightarrow \begin{cases} x=-1+t \\ y=-t \\ z=1+t \end{cases}$

$(-1+t)-(-t)-(1+t)=1$

$-1+t+t-1-t=1 \Rightarrow t-2=1 \Rightarrow t=3$

$P(-1+3,\,-3,\,1+3)=P(2,-3,4)$

Comprobamos que el punto satisface la ecuación del plano:

$2-(-3)-4=2+3-4=1$

El punto de corte es $P(2,-3,4)$.

Conviene advertir que la recta y el plano escritos en este apartado no son los que se obtienen en los dos anteriores, donde salieron $r: x+1=y=z-1$ y $\pi: x+y+z=3$. Con esos, el corte se calcula igual y da:

$(-1+t)+t+(1+t)=3 \Rightarrow 3t=3 \Rightarrow t=1 \Rightarrow P(0,1,2)$