Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Dado el punto $A = (0, -1, 1)$ y el plano $\pi : x + y + z + 3 = 0$.

a) Calcule el punto $B$ simétrico de $A$ respecto de $\pi$. [1,5 puntos]

b) Calcule el área del triángulo plano cuyos vértices son $A$, $C = (-2, -3, 1)$ y el origen de coordenadas. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule el punto } \boldsymbol{B}\textbf{ simétrico de } \boldsymbol{A}\textbf{ respecto de } \boldsymbol{\pi}\textbf{. [1,5 puntos]}$

El simétrico se obtiene en tres fases: se traza la recta perpendicular al plano que pasa por $A$, se corta con el plano y se impone que el punto de corte sea el punto medio del segmento que une $A$ con su simétrico.



i) Construimos la recta $r$ que, pasando por $A$, es perpendicular a $\pi$. Su vector director es el normal del plano, que se lee en sus coeficientes.

$\vec n_{\pi}=(1,1,1)$

$r:\begin{cases} x=\lambda \\ y=-1+\lambda \\ z=1+\lambda \end{cases}, \quad \lambda\in\mathbb{R}$

ii) Calculamos el punto $M$ en el que $r$ corta a $\pi$ sustituyendo las paramétricas en la ecuación del plano.

$\lambda+(-1+\lambda)+(1+\lambda)+3=0$

$3\lambda+3=0 \Rightarrow \lambda=-1$

$M(-1,-2,0)$

iii) Basta razonar que $M$ es el punto medio del segmento $\overline{AB}$, de donde se despejan las coordenadas de $B$.

$M=\left(\dfrac{0+B_{x}}{2},\dfrac{-1+B_{y}}{2},\dfrac{1+B_{z}}{2}\right)=(-1,-2,0)$

$\begin{cases} \dfrac{B_{x}}{2}=-1 \Rightarrow B_{x}=-2 \\[2pt] \dfrac{-1+B_{y}}{2}=-2 \Rightarrow B_{y}=-3 \\[2pt] \dfrac{1+B_{z}}{2}=0 \Rightarrow B_{z}=-1 \end{cases}$

El simétrico de $A$ respecto del plano es el punto $B(-2,-3,-1)$.

$\textbf{b) Calcule el área del triángulo plano cuyos vértices son } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{C=(-2,-3,1)}\textbf{ y el origen de coordenadas. [1 punto]}$

El área de un triángulo del espacio es la mitad del módulo del producto vectorial de dos de sus lados, así que tomamos los dos que salen del origen.



$\overrightarrow{OA}=(0,-1,1), \qquad \overrightarrow{OC}=(-2,-3,1)$

$\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & 1 \end{vmatrix}=(-1+3)\vec i-(0+2)\vec j+(0-2)\vec k=(2,-2,-2)$

$\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC}\right|=\sqrt{2^{2}+(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{OA}\times\overrightarrow{OC}\right|=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

El área del triángulo de vértices $A$, $C$ y el origen es de $\sqrt{3}\approx1{,}73$ unidades de área.