Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2024

Se considera la función $f(x) = \dfrac{x-4}{1-x}$.

a) Calcule el dominio de la función $f$ y sus asíntotas. [1 punto]

b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de $f$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el dominio de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y sus asíntotas. [1 punto]}$

Se trata de una función racional, de modo que el dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$1-x=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}-\{1\}$

Asíntotas verticales. La única candidata es el punto que se ha quitado del dominio, y lo es porque el numerador no se anula en él.

$\lim_{x\to1^{-}}\dfrac{x-4}{1-x}=\dfrac{-3}{0^{+}}=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^{+}}\dfrac{x-4}{1-x}=\dfrac{-3}{0^{-}}=+\infty$

$x=1 \text{ es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales. Numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x-4}{1-x}=\dfrac{1}{-1}=-1$

$y=-1 \text{ es asíntota horizontal}$

Al existir asíntota horizontal en las dos ramas, no puede haber asíntota oblicua.

$\textbf{b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1 punto]}$

Los extremos relativos se buscan entre los puntos que anulan la primera derivada, y los de inflexión entre los que anulan la segunda. Derivamos aplicando la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{1\cdot(1-x)-(x-4)\cdot(-1)}{(1-x)^{2}}=\dfrac{1-x+x-4}{(1-x)^{2}}=\dfrac{-3}{(1-x)^{2}}$

El numerador es la constante $-3$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo en el dominio, de modo que $f'(x)<0$ para todo $x\neq1$. La derivada no se anula nunca y la función no tiene máximos ni mínimos relativos.

$f \text{ es decreciente en } (-\infty,1) \text{ y en } (1,+\infty)$

Derivamos otra vez, escribiendo antes $f'(x)=-3(1-x)^{-2}$:

$f''(x)=-3\cdot(-2)(1-x)^{-3}\cdot(-1)=\dfrac{-6}{(1-x)^{3}}$

Tampoco esta se anula nunca, así que la función no tiene puntos de inflexión. Su signo sí cambia al pasar por $x=1$, que no pertenece al dominio:

$x<1 \Rightarrow (1-x)^{3}>0 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow f \text{ es cóncava}$

$x>1 \Rightarrow (1-x)^{3}<0 \Rightarrow f''(x)>0 \Rightarrow f \text{ es convexa}$

No hay extremos relativos ni puntos de inflexión: la función decrece en todo su dominio.

$\textbf{c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Para situar la curva añadimos los cortes con los ejes a lo obtenido en los dos apartados anteriores.

$y=0 \Rightarrow x-4=0 \Rightarrow x=4 \Rightarrow (4,0)$

$x=0 \Rightarrow y=\dfrac{-4}{1}=-4 \Rightarrow (0,-4)$

La gráfica es una hipérbola de centro $(1,-1)$: basta escribir $f(x)=-1+\frac{3}{x-1}$ para verlo. La rama de la izquierda baja desde la asíntota horizontal hasta $-\infty$ y la de la derecha desciende desde $+\infty$ hasta la asíntota, de acuerdo con que la función decrece en los dos intervalos.