Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

En una protectora de animales se dan tres tipos de alimentos a tres razas de perros distintas. Cada perro de la raza 1 consume, por semana, un promedio de 2 unidades del alimento A y 1 unidad del alimento C. Cada perro de la raza 2 consume, por semana, un promedio de 1 unidad del alimento A y 1 unidad del alimento C. El consumo semanal promedio de la raza 3 es de 3 unidades de alimento A, 1 unidad de alimento B y 3 unidades de alimento C. Cada semana se compran 410 unidades del alimento A, 30 unidades del alimento B y 310 del alimento C. Se supone que toda la comida que se proporciona se consume.

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice este problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]

b) ¿Cuántos ejemplares de cada raza pueden coexistir en la protectora? [1 punto]

c) Si la raza 2 consumiese 1 unidad del alimento B, ¿existiría otra distribución del número de ejemplares de cada raza que permitiese mantener las unidades compradas cada semana? [0,75 puntos]

$\textbf{a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que modelice este problema y escríbalo matricialmente. [0,75 puntos]}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al número de perros de las razas 1, 2 y 3 que hay en la protectora. Cada ecuación recoge el consumo semanal de un alimento: se multiplica lo que come un perro de cada raza por el número de perros de esa raza y se iguala a las unidades compradas.

Del alimento A comen 2 unidades los de la raza 1, 1 unidad los de la raza 2 y 3 unidades los de la raza 3:

$2x+y+3z=410$

Del alimento B solo comen los de la raza 3, y 1 unidad cada uno:

$z=30$

Del alimento C comen 1 unidad los de la raza 1, 1 unidad los de la raza 2 y 3 unidades los de la raza 3:

$x+y+3z=310$

El sistema pedido es, por tanto:

$\begin{cases} 2x+y+3z=410 \\ z=30 \\ x+y+3z=310 \end{cases}$

y escrito en forma matricial $A\cdot X=B$:

$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 410 \\ 30 \\ 310 \end{pmatrix}$

$\textbf{b) ¿Cuántos ejemplares de cada raza pueden coexistir en la protectora? [1 punto]}$

Antes de resolver comprobamos que la solución es única calculando el determinante de la matriz de coeficientes, que desarrollamos por la segunda fila.

$|A|=\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=-1\cdot(2-1)=-1\neq0$

Como $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$, el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por sustitución, empezando por la segunda ecuación, que ya da el valor de $z$.

$z=30$

$\begin{cases} 2x+y+90=410 \\ x+y+90=310 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x+y=320 \\ x+y=220 \end{cases}$

Restando la segunda ecuación de la primera desaparece $y$:

$x=100 \Rightarrow y=220-100=120$

En la protectora pueden coexistir 100 perros de la raza 1, 120 de la raza 2 y 30 de la raza 3.

$\textbf{c) Si la raza 2 consumiese 1 unidad del alimento B, ¿existiría otra distribución del número de ejemplares de cada raza que permitiese mantener las unidades compradas cada semana? [0,75 puntos]}$

El único cambio es la ecuación del alimento B, que ahora también recoge lo que comen los perros de la raza 2. Las otras dos ecuaciones no se tocan.

$\begin{cases} 2x+y+3z=410 \\ y+z=30 \\ x+y+3z=310 \end{cases}$

Estudiamos de nuevo el determinante de la matriz de coeficientes:

$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}=2(3-1)-1(0-1)+3(0-1)=4+1-3=2\neq0$

El sistema vuelve a ser compatible determinado, así que como mucho hay una distribución posible. Restando la tercera ecuación de la primera obtenemos $x$:

$x=410-310=100$

$\begin{cases} y+3z=210 \\ y+z=30 \end{cases} \Rightarrow 2z=180 \Rightarrow z=90 \Rightarrow y=30-90=-60$

La única solución del sistema es $(x,y,z)=(100,-60,90)$. Se descarta porque $y$ cuenta perros y no puede ser negativa.

No existiría ninguna distribución válida: con ese consumo, la única solución del sistema pide un número negativo de perros de la raza 2, de modo que las unidades compradas cada semana no se podrían consumir enteras.