Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

El número de horas semanales que los habitantes de determinada población dedican a la lectura de libros, sigue una distribución normal con desviación típica 2 horas. Una muestra aleatoria de 375 personas da como resultado un tiempo medio de 4 horas. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 94 % para el tiempo medio. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 90 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Obtenga el intervalo de confianza del 94 \% para el tiempo medio. [1,25 puntos]}$

El tiempo semanal de lectura sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=2$ horas. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=375$ y $\bar{x}=4$ horas. Con un nivel de confianza del 94 % se tiene $\alpha=0{,}06$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}97$.

$P(Z\leq1{,}88)=0{,}9699\Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}88$



$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{375}}=0{,}10328$

$E=1{,}88\cdot0{,}10328=0{,}194166$

$(4-0{,}194166\ ,\ 4+0{,}194166)=(3{,}8058\ ,\ 4{,}1942)$

Con un nivel de confianza del 94 %, el tiempo medio semanal dedicado a la lectura está entre $3{,}8058$ y $4{,}1942$ horas.

$\textbf{b) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 90 \% sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior? [1,25 puntos]}$

El error que hay que conseguir es la cuarta parte del anterior.

$E'=\dfrac{E}{4}=\dfrac{0{,}194166}{4}=0{,}048541$

Cambia además el nivel de confianza: ahora es del 90 %, de modo que $\alpha=0{,}1$ y hay que buscar el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}95$. La tabla lo sitúa entre $1{,}64$ y $1{,}65$, y se toma el valor habitual $z_{\alpha/2}=1{,}645$.



Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error.

$E'=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E'}\right)^{2}$

$n=\left(\dfrac{1{,}645\cdot2}{0{,}048541}\right)^{2}=\left(67{,}7778\right)^{2}=4593{,}75$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar el valor exigido, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq4593{,}75\Rightarrow n=4594$

La muestra debe tener como mínimo 4594 personas.