Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2020

Dadas las funciones $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ y $g(x) = x^2 - x$: [2,5 puntos]

a) Obtenga sus puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [1 punto]

c) Dibuje las gráficas de ambas funciones indicando la región delimitada por ambas. [0,25 puntos]

d) Calcule el área de la región anterior. [1 punto]

$\textbf{a) Obtenga sus puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]}$

Se estudian las dos funciones por separado, sacando factor común.

$f(x)=x^{3}-6x^{2}+9x=x\left(x^{2}-6x+9\right)=x(x-3)^{2}$

$f(x)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=3\end{cases},\qquad f(0)=0$

$g(x)=x^{2}-x=x(x-1)$

$g(x)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=1\end{cases},\qquad g(0)=0$

La curva $f$ corta a los ejes en $(0,0)$ y $(3,0)$ —en este último la raíz es doble y solo toca el eje—, y la parábola $g$ lo hace en $(0,0)$ y $(1,0)$. Las dos pasan por el origen.

$\textbf{b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [1 punto]}$

Se deriva la primera función y se anula la derivada.

$f'(x)=3x^{2}-12x+9=3\left(x^{2}-4x+3\right)=3(x-1)(x-3)$

$f'(x)=0\Rightarrow\begin{cases}x=1\\ x=3\end{cases}$

$f'(0)=9>0,\qquad f'(2)=3(1)(-1)=-3<0,\qquad f'(4)=3\cdot3\cdot1=9>0$



La función $f$ crece en $(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$ y decrece en $(1,3)$, con un máximo relativo en $(1,4)$ y un mínimo relativo en $(3,0)$, porque $f(1)=1-6+9=4$ y $f(3)=27-54+27=0$.

Para la parábola basta su vértice.

$g'(x)=2x-1=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2},\qquad g''(x)=2>0$

La función $g$ decrece en $\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right)$ y crece en $\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$, con un mínimo en $\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4}\right)$.

$\textbf{c) Dibuje las gráficas de ambas funciones indicando la región delimitada por ambas. [0,25 puntos]}$

Se buscan primero los puntos en que las dos curvas se cortan.

$x^{3}-6x^{2}+9x=x^{2}-x\Rightarrow x^{3}-7x^{2}+10x=0$

$x\left(x^{2}-7x+10\right)=0\Rightarrow x(x-2)(x-5)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=2\\ x=5\end{cases}$

Los tres puntos de corte son $(0,0)$, $(2,2)$ y $(5,20)$, de modo que la región delimitada tiene dos trozos.



$\textbf{d) Calcule el área de la región anterior. [1 punto]}$

Se comprueba con un punto intermedio cuál de las dos gráficas va por encima en cada trozo, con la diferencia $f(x)-g(x)=x^{3}-7x^{2}+10x$.

$\text{En }(0,2):\ 1-7+10=4>0\Rightarrow f\text{ va por encima}$

$\text{En }(2,5):\ 27-63+30=-6<0\Rightarrow g\text{ va por encima}$

Se calcula cada trozo por separado con la primitiva $F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{7x^{3}}{3}+5x^{2}$.

$A_{1}=\int_{0}^{2}\left(x^{3}-7x^{2}+10x\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{7x^{3}}{3}+5x^{2}\right]_{0}^{2}$

$A_{1}=4-\dfrac{56}{3}+20=\dfrac{72-56}{3}=\dfrac{16}{3}$

$A_{2}=\left|\int_{2}^{5}\left(x^{3}-7x^{2}+10x\right)dx\right|=\left|F(5)-F(2)\right|$

$F(5)=\dfrac{625}{4}-\dfrac{875}{3}+125=-\dfrac{125}{12}$

$A_{2}=\left|-\dfrac{125}{12}-\dfrac{16}{3}\right|=\left|-\dfrac{189}{12}\right|=\dfrac{63}{4}$

$A=A_{1}+A_{2}=\dfrac{16}{3}+\dfrac{63}{4}=\dfrac{64+189}{12}=\dfrac{253}{12}\approx21{,}08\ \text{u}^{2}$

El área de la región delimitada por las dos curvas es $\dfrac{253}{12}\approx21{,}08$ unidades de área.