Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un inversor quiere comprar acciones de dos clases, A y B. La suma total de acciones adquiridas será como máximo de 1200. Cada acción del tipo A le reportará un beneficio de 0,2 euros y cada acción del B, uno de 0,08 euros. Tiene claro que no comprará más de 500 acciones del tipo A. Pero sí está dispuesto a adquirir como mínimo 350 del B. Además, no quiere que el número de acciones B adquiridas sea mayor del triple de acciones A. ¿Cuántas acciones debe comprar de cada tipo para obtener los máximos beneficios? ¿A cuánto ascienden dichos beneficios? [2,5 puntos]

$\textbf{¿Cuántas acciones debe comprar de cada tipo para obtener los máximos beneficios? ¿A cuánto ascienden dichos beneficios? [2,5 puntos]}$

Se llama $x$ al número de acciones del tipo A e $y$ al número de acciones del tipo B.

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio:

$B(x,y)=0{,}2x+0{,}08y$

Las restricciones del problema son:

La suma total de acciones es como máximo 1200 $\Rightarrow$ $x+y\leq1200$.

No comprará más de 500 acciones del tipo A $\Rightarrow$ $x\leq500$.

Adquirirá como mínimo 350 del tipo B $\Rightarrow$ $y\geq350$.

El número de acciones B no puede ser mayor del triple del de acciones A $\Rightarrow$ $y\leq3x$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+y\leq1200\\ x\leq500\\ y\geq350\\ y\leq3x \end{cases}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$:

$\begin{cases}y=350\\ y=3x\end{cases}\Rightarrow 3x=350\Rightarrow x=\dfrac{350}{3}\Rightarrow A\left(\dfrac{350}{3},350\right)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}y=350\\ x=500\end{cases}\Rightarrow B(500,350)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x=500\\ x+y=1200\end{cases}\Rightarrow y=700\Rightarrow C(500,700)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x+y=1200\\ y=3x\end{cases}\Rightarrow x+3x=1200\Rightarrow x=300\Rightarrow y=900\Rightarrow D(300,900)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $B$ en los cuatro.

$B\left(\dfrac{350}{3},350\right)=0{,}2\cdot\dfrac{350}{3}+0{,}08\cdot350=\dfrac{70}{3}+28\approx51{,}33$

$B(500,350)=100+28=128$

$B(500,700)=100+56=156$

$B(300,900)=60+72=132$

El mayor de los cuatro valores se alcanza en el vértice $C(500,700)$, que además tiene las dos coordenadas enteras. Se comprueba que respeta todas las condiciones: $500+700=1200$, $700\leq3\cdot500$ y $700\geq350$.

Debe comprar 500 acciones del tipo A y 700 del tipo B, con las que el beneficio máximo asciende a 156 euros.