Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una oficina necesita adquirir material de papelería. Cuenta con un presupuesto de 600 euros y necesita archivadores, cuadernos y carpetas. Los precios de cada artículo por unidad son de 6, 3 y 2 euros respectivamente. El número de cuadernos va a ser la cuarta parte que el de carpetas y el número total de archivadores y de carpetas será de 165. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las unidades que deben comprarse de cada artículo si se pretende agotar el presupuesto disponible. [0,9 puntos]}$

Se llama $x$ al número de archivadores, $y$ al de cuadernos y $z$ al de carpetas.

i) Se agota el presupuesto de 600 euros, a 6, 3 y 2 euros la unidad:

$6x+3y+2z=600$

ii) El número de cuadernos es la cuarta parte del de carpetas:

$y=\dfrac{z}{4}\Rightarrow 4y-z=0$

iii) El número total de archivadores y carpetas es 165:

$x+z=165$

El sistema pedido es

$\begin{cases}6x+3y+2z=600\\ 4y-z=0\\ x+z=165\end{cases}$

$\textbf{b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}6&3&2\\ 0&4&-1\\ 1&0&1\end{pmatrix}$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$|A|=\left(24-3+0\right)-\left(8+0+0\right)=21-8=13$

$|A|=13\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: hay una única compra que agota el presupuesto.

$\textbf{c) Resuélvalo. [0,8 puntos]}$

La segunda ecuación da $z$ en función de $y$ y la tercera da $x$ en función de $z$; se encadenan las dos sustituciones.

$z=4y,\qquad x=165-z=165-4y$

Se llevan a la primera ecuación.

$6(165-4y)+3y+2\cdot4y=600$

$990-24y+3y+8y=600\Rightarrow -13y=-390\Rightarrow y=30$

$z=4\cdot30=120,\qquad x=165-120=45$

Se comprueba el presupuesto: $6\cdot45+3\cdot30+2\cdot120=270+90+240=600$ euros.

Deben comprarse 45 archivadores, 30 cuadernos y 120 carpetas.