Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

a) El precio de alquiler de viviendas en un determinado barrio de una gran ciudad sigue una distribución normal con desviación típica 265 euros. Queremos que el error cometido al estimar el precio medio de alquiler con un nivel de confianza del 97 % sea 20,7 euros. ¿Cuántas viviendas hemos de tomar aleatoriamente para calcular la estimación? [1,25 puntos]

b) En el caso de una población de tamaño pequeño, el precio de alquiler sigue una distribución normal con desviación típica 134 euros. Una muestra aleatoria de 357 viviendas da como resultado un alquiler medio de 448 euros. Obtenga el intervalo de confianza del 93 % para el precio medio de alquiler. [1,25 puntos]

$\textbf{a) El precio de alquiler de viviendas en un determinado barrio de una gran ciudad sigue una distribución normal con desviación típica 265 euros. Queremos que el error cometido al estimar el precio medio de alquiler con un nivel de confianza del 97 \% sea 20,7 euros. ¿Cuántas viviendas hemos de tomar aleatoriamente para calcular la estimación? [1,25 puntos]}$

Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el error máximo admisible es

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$

Con un nivel de confianza del 97 % se tiene $\alpha=0{,}03$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985$.

$P(Z\leq2{,}17)=0{,}9850\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



$n=\left(\dfrac{2{,}17\cdot265}{20{,}7}\right)^{2}=\left(\dfrac{575{,}05}{20{,}7}\right)^{2}=\left(27{,}7802\right)^{2}=771{,}7391$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar los 20,7 €, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq771{,}7391\Rightarrow n=772$

Hay que tomar como mínimo 772 viviendas.

$\textbf{b) En el caso de una población de tamaño pequeño, el precio de alquiler sigue una distribución normal con desviación típica 134 euros. Una muestra aleatoria de 357 viviendas da como resultado un alquiler medio de 448 euros. Obtenga el intervalo de confianza del 93 \% para el precio medio de alquiler. [1,25 puntos]}$

El intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos son $\sigma=134$, $n=357$ y $\bar{x}=448$ euros. Con un nivel de confianza del 93 % se tiene $\alpha=0{,}07$, y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}965$.

$P(Z\leq1{,}81)=0{,}9649\Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}81$



$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{134}{\sqrt{357}}=7{,}0920$

$E=1{,}81\cdot7{,}0920=12{,}8366$

$(448-12{,}8366\ ,\ 448+12{,}8366)=(435{,}1634\ ,\ 460{,}8366)$

Con un nivel de confianza del 93 %, el precio medio de alquiler está entre $435{,}1634$ y $460{,}8366$ euros.