Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

a) Dada la función $f(x) = \dfrac{2x + 4}{x^2 + 5x + 6}$: [1,25 puntos]

1) ¿En qué puntos es discontinua? [0,25 puntos]

2) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? [0,5 puntos]

3) Calcule los dos límites laterales en $x = -3$. Interprete gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor. [0,5 puntos]

b) Dada la función $f(x) = \begin{cases} ax^2 + 2x - 1 & \text{si } x \leq -1 \\[1ex] x^2 - 5 & \text{si } -1 < x \leq 3 \\[1ex] \dfrac{b + x}{3x - 2} & \text{si } x > 3 \end{cases}$, determine los valores de $a$ y $b$ para los que la función es continua en $x = -1$ y en $x = 3$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) 1) ¿En qué puntos es discontinua? [0,25 puntos]}$

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$x^{2}+5x+6=0\Rightarrow x=\dfrac{-5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\dfrac{-5\pm1}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=-2\\ x=-3\end{cases}$

La función es discontinua en $x=-2$ y en $x=-3$.

$\textbf{a) 2) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? [0,5 puntos]}$

Se factorizan numerador y denominador.

$f(x)=\dfrac{2x+4}{x^{2}+5x+6}=\dfrac{2(x+2)}{(x+2)(x+3)}$

En $x=-2$ el factor $(x+2)$ se cancela, así que el límite existe y es finito.

$\lim_{x\to-2}f(x)=\lim_{x\to-2}\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{2}{1}=2$

La discontinuidad de $x=-2$ es evitable y sí se puede eliminar redefiniendo la función en ese punto:

$g(x)=\begin{cases}f(x) & \text{si } x\neq-2\\[2pt] 2 & \text{si } x=-2\end{cases}$

En $x=-3$ el numerador de la expresión simplificada no se anula, de modo que el límite es infinito y la discontinuidad es inevitable.

$\textbf{a) 3) Calcule los dos límites laterales en } \boldsymbol{x = -3}\textbf{. Interprete gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor. [0,5 puntos]}$

Se trabaja con la expresión simplificada, válida en todo un entorno de $x=-3$.

$\lim_{x\to-3^{-}}\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$

$\lim_{x\to-3^{+}}\dfrac{2}{x+3}=\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$

Los dos límites laterales son infinitos y de signo contrario, de modo que la recta $x=-3$ es una asíntota vertical: al acercarse a $-3$ por la izquierda la curva se desploma hacia $-\infty$ y al acercarse por la derecha se dispara hacia $+\infty$, sin llegar a cortar nunca esa recta.



$\textbf{b) Determine los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para los que la función es continua en } \boldsymbol{x = -1}\textbf{ y en } \boldsymbol{x = 3}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Cada trozo es continuo en el interior de su intervalo, así que basta igualar los límites laterales en los dos puntos de cambio.

En $x=-1$:

$\lim_{x\to-1^{-}}f(x)=a(-1)^{2}+2(-1)-1=a-3$

$\lim_{x\to-1^{+}}f(x)=(-1)^{2}-5=-4$

$a-3=-4\Rightarrow a=-1$

En $x=3$:

$\lim_{x\to3^{-}}f(x)=3^{2}-5=4$

$\lim_{x\to3^{+}}f(x)=\dfrac{b+3}{3\cdot3-2}=\dfrac{b+3}{7}$

$\dfrac{b+3}{7}=4\Rightarrow b+3=28\Rightarrow b=25$

La función es continua en $x=-1$ y en $x=3$ para $a=-1$ y $b=25$.