Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2020

Dada la función $f(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x - 2}$, obtenga sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [2,5 puntos]

$\textbf{Dada la función } \boldsymbol{f(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x - 2}}\textbf{, obtenga sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [2,5 puntos]}$

El dominio de la función lo forman todos los reales salvo el que anula el denominador:

$x-2=0\Rightarrow x=2\Rightarrow\text{Dom }f=\mathbb{R}-\{2\}$

Se deriva por la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{(2x+1)(x-2)-\left(x^{2}+x-2\right)}{(x-2)^{2}}$

$f'(x)=\dfrac{2x^{2}-4x+x-2-x^{2}-x+2}{(x-2)^{2}}=\dfrac{x^{2}-4x}{(x-2)^{2}}$

$f'(x)=\dfrac{x(x-4)}{(x-2)^{2}}$

Se anula la derivada para localizar los puntos críticos.

$f'(x)=0\Rightarrow x(x-4)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=4\end{cases}$

Como el denominador es un cuadrado, siempre positivo, el signo de $f'$ es el del numerador. Se estudia ese signo en los cuatro tramos que determinan los dos puntos críticos y el punto $x=2$, que no pertenece al dominio.

$f'(-1)=\dfrac{(-1)(-5)}{9}>0$

$f'(1)=\dfrac{1\cdot(-3)}{1}<0$

$f'(3)=\dfrac{3\cdot(-1)}{1}<0$

$f'(5)=\dfrac{5\cdot1}{9}>0$



La función crece en $(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$ y decrece en $(0,2)\cup(2,4)$.

En $x=0$ pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo; en $x=4$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo. En $x=2$ no hay extremo, porque el punto no pertenece al dominio.

$f(0)=\dfrac{-2}{-2}=1,\qquad f(4)=\dfrac{16+4-2}{2}=\dfrac{18}{2}=9$

Hay un máximo relativo en $(0,1)$ y un mínimo relativo en $(4,9)$.