Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa del sector alimentario lanza al mercado dos nuevas bebidas, A y B, compuestas de zumos de frutas combinados. La composición de cada litro de bebida es la siguiente:

	Zumo de piña	Zumo de mango	Zumo de papaya A	0,5 litros	0,5 litros	B	0,4 litros		0,6 litros

El precio de venta fijado es de 1,5 euros por litro de A y de 1,75 euros por litro de B.

Semanalmente se cuenta con 20 000 litros de zumo de piña, con 15 000 de zumo de mango y con 15 000 de zumo de papaya.

Determine los litros que deben producirse semanalmente de cada bebida para obtener unos ingresos semanales máximos. ¿A cuánto ascienden dichos ingresos? [2,5 puntos]

$\textbf{Determine los litros que deben producirse semanalmente de cada bebida para obtener unos ingresos semanales máximos. ¿A cuánto ascienden dichos ingresos? [2,5 puntos]}$

Se llama $x$ a los litros de bebida A e $y$ a los litros de bebida B que se producen cada semana.

Se ordena en una tabla el consumo de cada zumo y el ingreso, a partir de la composición del enunciado.

$$	$\text{Piña (l)}$	$\text{Mango (l)}$	$\text{Papaya (l)}$	$\text{Ingreso (€)}$
Bebida A (x)	0,5x	0,5x	0	1,5x
Bebida B (y)	0,4y	0	0,6y	1,75y
Totales	0,5x + 0,4y	0,5x	0,6y	1,5x + 1,75y

La función objetivo que se desea maximizar es el ingreso semanal:

$I(x,y)=1{,}5x+1{,}75y$

Las restricciones del problema son:

Se cuenta con 20000 litros de zumo de piña $\Rightarrow$ $0{,}5x+0{,}4y\leq20000$, que multiplicada por 10 queda $5x+4y\leq200000$.

Se cuenta con 15000 litros de zumo de mango, que solo lleva la bebida A $\Rightarrow$ $0{,}5x\leq15000$, es decir, $x\leq30000$.

Se cuenta con 15000 litros de zumo de papaya, que solo lleva la bebida B $\Rightarrow$ $0{,}6y\leq15000$, es decir, $y\leq25000$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq0;\ y\geq0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} 5x+4y\leq200000\\ x\leq30000\\ y\leq25000\\ x\geq0;\ y\geq0 \end{cases}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: es el origen, $A(0,0)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases}x=30000\\ y=0\end{cases}\Rightarrow B(30000,0)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x=30000\\ 5x+4y=200000\end{cases}\Rightarrow 150000+4y=200000\Rightarrow y=12500\Rightarrow C(30000;12500)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}5x+4y=200000\\ y=25000\end{cases}\Rightarrow 5x=100000\Rightarrow x=20000\Rightarrow D(20000;25000)$

Vértice $E$:

$\begin{cases}y=25000\\ x=0\end{cases}\Rightarrow E(0;25000)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $I$ en los cinco.

$I(0,0)=0$

$I(30000,0)=1{,}5\cdot30000=45000$

$I(30000;12500)=45000+1{,}75\cdot12500=45000+21875=66875$

$I(20000;25000)=1{,}5\cdot20000+1{,}75\cdot25000=30000+43750=73750$

$I(0;25000)=1{,}75\cdot25000=43750$

El mayor de los cinco valores se alcanza en el vértice $D(20000;25000)$. Se comprueba el consumo de zumos:

$0{,}5\cdot20000+0{,}4\cdot25000=10000+10000=20000\ \text{l de piña}$

$0{,}5\cdot20000=10000\ \text{l de mango},\qquad 0{,}6\cdot25000=15000\ \text{l de papaya}$

Deben producirse 20000 litros de bebida A y 25000 litros de bebida B a la semana, con los que los ingresos máximos ascienden a 73750 euros.