Ejercicio resuelto de Árboles de decisión · Matemáticas CCSS

El 23 % de los habitantes de una localidad son menores de 25 años. El 31 % tienen una edad comprendida entre los 26 y 60 años. El 46 % restante es mayor de 60 años. El ayuntamiento ha recibido la petición de instalación de un parque eólico en unos terrenos municipales. Entre la población más joven, el 68 % es partidario de la instalación; entre los habitantes entre 26 y 60 años, lo es el 53 %; y entre los mayores de 60 años, el 42 %.

Seleccionamos un habitante al azar: [2,5 puntos]

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea favorable a la instalación del parque eólico? [0,75 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea favorable y mayor de 60 años? [0,75 puntos]

c) Si no es favorable, ¿cuál es la probabilidad de que sea menor de 25 años? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea favorable a la instalación del parque eólico? [0,75 puntos]}$

Se nombran los sucesos:

$J\equiv$ ser menor de 25 años,

$M\equiv$ tener entre 26 y 60 años,

$V\equiv$ ser mayor de 60 años,

$F\equiv$ ser favorable a la instalación, y $\overline{F}\equiv$ no serlo.

Del enunciado se leen $P(J)=0{,}23$, $P(M)=0{,}31$, $P(V)=0{,}46$, $P(F/J)=0{,}68$, $P(F/M)=0{,}53$ y $P(F/V)=0{,}42$.

El experimento tiene dos etapas —primero el tramo de edad y después la opinión—, así que se organiza en un diagrama de árbol.



Los tres tramos de edad forman un sistema completo, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total sumando las tres ramas que terminan en $F$.

$P(F)=P(J)P(F/J)+P(M)P(F/M)+P(V)P(F/V)$

$P(F)=0{,}23\cdot0{,}68+0{,}31\cdot0{,}53+0{,}46\cdot0{,}42$

$P(F)=0{,}1564+0{,}1643+0{,}1932=0{,}5139$

La probabilidad de que el habitante elegido sea favorable a la instalación es $0{,}5139$, es decir, un 51,39 %.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea favorable y mayor de 60 años? [0,75 puntos]}$

Se recorre la rama $V$ seguida de $\overline{F}$.

$P(V\cap\overline{F})=P(V)\cdot P(\overline{F}/V)=0{,}46\cdot(1-0{,}42)=0{,}46\cdot0{,}58=0{,}2668$

La probabilidad pedida es $0{,}2668$, es decir, un 26,68 %.

$\textbf{c) Si no es favorable, ¿cuál es la probabilidad de que sea menor de 25 años? [1 punto]}$

Es una probabilidad a posteriori: se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera. Se utiliza el teorema de Bayes con el suceso contrario.

$P(\overline{F})=1-P(F)=1-0{,}5139=0{,}4861$

$P(J/\overline{F})=\dfrac{P(J)\cdot P(\overline{F}/J)}{P(\overline{F})}=\dfrac{0{,}23\cdot0{,}32}{0{,}4861}=\dfrac{0{,}0736}{0{,}4861}\approx0{,}1514$

Si el habitante no es favorable a la instalación, la probabilidad de que sea menor de 25 años es $0{,}1514$, es decir, un 15,14 %.