Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El número de libros que los estudiantes de un instituto leen al año, sigue una distribución normal con desviación típica 1. Una muestra aleatoria de 125 alumnos da como resultado una media de 4 libros. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 94 % para la media. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 97 % sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Obtenga el intervalo de confianza del 94 \% para la media. [1,25 puntos]}$

El número de libros sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=1$. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=125$ y $\bar{x}=4$ libros. Con un nivel de confianza del 94 % se tiene $\alpha=0{,}06$, y se busca en la tabla el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}97$.

$P(Z\leq1{,}88)=0{,}9699\Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}88$



$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{125}}=0{,}089443$

$E=1{,}88\cdot0{,}089443=0{,}168152$

$(4-0{,}168152\ ,\ 4+0{,}168152)=(3{,}8318\ ,\ 4{,}1682)$

Con un nivel de confianza del 94 %, el número medio de libros leídos al año está entre $3{,}8318$ y $4{,}1682$.

$\textbf{b) ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 97 \% sea un cuarto del obtenido en el apartado anterior? [1,25 puntos]}$

El error que hay que conseguir es la cuarta parte del anterior.

$E'=\dfrac{E}{4}=\dfrac{0{,}168152}{4}=0{,}042038$

Cambia además el nivel de confianza: ahora es del 97 %, de modo que $\alpha=0{,}03$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985$.

$P(Z\leq2{,}17)=0{,}9850\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error.

$E'=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E'}\right)^{2}$

$n=\left(\dfrac{2{,}17}{0{,}042038}\right)^{2}=\left(51{,}62\right)^{2}=2664{,}61$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar el valor exigido, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq2664{,}61\Rightarrow n=2665$

La muestra debe tener como mínimo 2665 alumnos.