Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2021

Dada la función $f(x) = x^3 - 3x$: [2,5 puntos]

a) Obtenga sus puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [0,5 puntos]

c) Determine sus intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan. [0,5 puntos]

d) Dibuje la gráfica de $f(x)$ e indique la región delimitada por dicha curva y la recta $y = x$. [0,25 puntos]

e) Calcule el área de la región anterior. [1 punto]

$\textbf{a) Obtenga sus puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]}$

El corte con el eje OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=0^{3}-3\cdot0=0\Rightarrow(0,0)$

Para los cortes con el eje OX se anula la función sacando factor común.

$x^{3}-3x=0\Rightarrow x\left(x^{2}-3\right)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=\pm\sqrt{3}\end{cases}$

La gráfica corta a los ejes en $(-\sqrt{3},0)$, $(0,0)$ y $(\sqrt{3},0)$.

$\textbf{b) Determine sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [0,5 puntos]}$

Se deriva y se anula la derivada.

$f'(x)=3x^{2}-3$

$f'(x)=0\Rightarrow 3x^{2}=3\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=\pm1$

Se estudia el signo de la derivada antes, entre y después de los dos puntos críticos.

$f'(-2)=12-3=9>0,\qquad f'(0)=-3<0,\qquad f'(2)=12-3=9>0$



La función crece en $(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$ y decrece en $(-1,1)$.

$f(-1)=-1+3=2,\qquad f(1)=1-3=-2$

Hay un máximo relativo en $(-1,2)$ y un mínimo relativo en $(1,-2)$.

$\textbf{c) Determine sus intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan. [0,5 puntos]}$

Se deriva otra vez y se anula la segunda derivada.

$f''(x)=6x$

$f''(x)=0\Rightarrow x=0$

El signo de $f''$ es el de $x$:

$\text{Si } x<0:\ f''(x)<0\Rightarrow\text{cóncava } (\cap)$

$\text{Si } x>0:\ f''(x)>0\Rightarrow\text{convexa } (\cup)$

La función es cóncava en $(-\infty,0)$ y convexa en $(0,+\infty)$, y como en $x=0$ cambia la curvatura hay un punto de inflexión en $(0,0)$.

$\textbf{d) Dibuje la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ e indique la región delimitada por dicha curva y la recta } \boldsymbol{y = x}\textbf{. [0,25 puntos]}$

Se buscan primero los puntos en que la curva y la recta se cortan, que son los que delimitan la región.

$x^{3}-3x=x\Rightarrow x^{3}-4x=0\Rightarrow x\left(x^{2}-4\right)=0$

$\begin{cases}x=-2\\ x=0\\ x=2\end{cases}$

Hay tres cortes, en $(-2,-2)$, $(0,0)$ y $(2,2)$, de modo que la región tiene dos trozos: entre $-2$ y $0$ va por encima la curva y entre $0$ y $2$ va por encima la recta.



$\textbf{e) Calcule el área de la región anterior. [1 punto]}$

Se comprueba con un punto intermedio cuál de las dos gráficas va por encima en cada trozo.

$\text{En }(-2,0):\ f(-1)-(-1)=2+1=3>0\Rightarrow\text{la curva va por encima}$

$\text{En }(0,2):\ f(1)-1=-2-1=-3<0\Rightarrow\text{la recta va por encima}$

Se calcula cada trozo por separado, con la diferencia $f(x)-x=x^{3}-4x$.

$A_{1}=\int_{-2}^{0}\left(x^{3}-4x\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-2x^{2}\right]_{-2}^{0}=0-(4-8)=4$

$A_{2}=\int_{0}^{2}\left(4x-x^{3}\right)dx=\left[2x^{2}-\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{2}=8-4=4$

$A=A_{1}+A_{2}=4+4=8\ \text{u}^{2}$

El área de la región delimitada por la curva y la recta es de 8 unidades de área.