Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Una agencia de viajes organiza una excursión para los empleados de una empresa. Eso le supone unos gastos fijos por viajero de 475 euros además de los 850 euros del alquiler del autocar. Con un grupo de 20 personas, cobra a cada viajero 525 euros, pero presenta la siguiente oferta a la empresa: por cada nuevo viajero inscrito, rebajará el precio del viaje en 1,25 euros. ¿Con cuántos viajeros consigue unos beneficios máximos? ¿Cuánto paga cada viajero? [2,5 puntos]

$\textbf{¿Con cuántos viajeros consigue unos beneficios máximos? ¿Cuánto paga cada viajero? [2,5 puntos]}$

Se llama $n$ al número de viajeros que se inscriben por encima de los 20 iniciales. Con esa variable, el grupo tiene $20+n$ personas y cada una paga $525-1{,}25n$ euros, porque el precio baja 1,25 € por cada nuevo inscrito.

El beneficio es la diferencia entre lo que cobra la agencia y lo que le cuesta la excursión: 475 € por viajero más los 850 € fijos del autocar.

$B(n)=(20+n)(525-1{,}25n)-475(20+n)-850$

Se saca factor común $(20+n)$ en los dos primeros sumandos.

$B(n)=(20+n)(525-1{,}25n-475)-850=(20+n)(50-1{,}25n)-850$

$B(n)=1000-25n+50n-1{,}25n^{2}-850=-1{,}25n^{2}+25n+150$

Se deriva y se anula la derivada para localizar el máximo.

$B'(n)=-2{,}5n+25$

$B'(n)=0\Rightarrow -2{,}5n+25=0\Rightarrow n=10$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(n)=-2{,}5<0\Rightarrow\text{máximo}$

Se traducen los resultados a las magnitudes del problema.

$\text{viajeros}=20+10=30$

$\text{precio}=525-1{,}25\cdot10=525-12{,}5=512{,}5\ \text{€}$

$B(10)=-1{,}25\cdot100+250+150=-125+400=275\ \text{€}$

Se comprueba el resultado directamente: los ingresos son $30\cdot512{,}5=15375$ € y los gastos $475\cdot30+850=15100$ €, cuya diferencia es 275 €.

La agencia consigue el beneficio máximo con 30 viajeros, y cada uno paga 512,5 euros.