Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una tienda de material informático dispone de 96 lapiceros con memoria USB y 15 tabletas digitales, para organizar dos tipos de lotes. Un lote A tendrá 3 lapiceros y una tableta; un lote B tendrá 6 lapiceros y una tableta. El precio de venta de un lote A es de 70 euros y el de un lote B, 160 euros. Además, el número de lotes B debe ser como máximo la mitad de lotes A. ¿Cuántos lotes deben prepararse y venderse para obtener unos ingresos máximos? ¿A cuánto ascienden esos ingresos? [2,5 puntos]

$\textbf{¿Cuántos lotes deben prepararse y venderse para obtener unos ingresos máximos? ¿A cuánto ascienden esos ingresos? [2,5 puntos]}$

Se llama $x$ al número de lotes A e $y$ al número de lotes B que prepara la tienda.

Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Lapiceros}$	$\text{Tabletas}$	$\text{Ingreso (€)}$
Lotes A (x)	3x	x	70x
Lotes B (y)	6y	y	160y
Totales	3x + 6y	x + y	70x + 160y

La función objetivo que se desea maximizar es el ingreso:

$I(x,y)=70x+160y$

Las restricciones del problema son:

Se dispone de 96 lapiceros $\Rightarrow$ $3x+6y\leq96$, que dividida entre 3 queda $x+2y\leq32$.

Se dispone de 15 tabletas $\Rightarrow$ $x+y\leq15$.

El número de lotes B es como máximo la mitad del de lotes A $\Rightarrow$ $y\leq\dfrac{x}{2}$, es decir, $x\geq2y$.

El número de lotes no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq0;\ y\geq0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+2y\leq32\\ x+y\leq15\\ x\geq2y\\ x\geq0;\ y\geq0 \end{cases}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: es el origen, $A(0,0)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases}x+y=15\\ y=0\end{cases}\Rightarrow x=15\Rightarrow B(15,0)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x+y=15\\ x=2y\end{cases}\Rightarrow 2y+y=15\Rightarrow y=5\Rightarrow x=10\Rightarrow C(10,5)$

La restricción de los lapiceros no llega a cortar al recinto: en el vértice más exigente, $C$, se usan $10+2\cdot5=20$ de los 32 disponibles.

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $I$ en los tres.

$I(0,0)=0$

$I(15,0)=70\cdot15=1050$

$I(10,5)=70\cdot10+160\cdot5=700+800=1500$

El mayor de los tres valores se alcanza en el vértice $C(10,5)$. Se comprueba el material empleado:

$3\cdot10+6\cdot5=30+30=60\leq96\ \text{lapiceros},\qquad 10+5=15\ \text{tabletas}$

Deben prepararse y venderse 10 lotes A y 5 lotes B, con los que los ingresos máximos ascienden a 1500 euros.