Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Tres estudiantes de Economía, Cristina, Juan y Pedro, han preparado un trabajo de investigación que deben exponer en clase. Se repartieron las tareas de la siguiente forma: Cristina llevó a cabo la labor de recopilación de datos, en la que empleó un 40 % más que el tiempo que Juan necesitó para redactar el texto. Pedro desempeñó las tareas de revisión y de preparación de la exposición, siendo el tiempo dedicado a ello la mitad del empleado en total por Cristina y Juan.

El tiempo total empleado fue de 18 horas. ¿Cuánto dedicó cada alumno a la elaboración del trabajo? [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular el tiempo empleado por cada estudiante. [0,9 puntos]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]

c) Resuélvalo. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular el tiempo empleado por cada estudiante. [0,9 puntos]}$

Se llama $x$ a las horas que empleó Cristina, $y$ a las de Juan y $z$ a las de Pedro.

i) Cristina empleó un 40 % más que Juan, es decir, 1,4 veces su tiempo:

$x=1{,}4y$

ii) Pedro dedicó la mitad del tiempo empleado en total por Cristina y Juan:

$z=\dfrac{x+y}{2}$

iii) El tiempo total fue de 18 horas:

$x+y+z=18$

Ordenando las incógnitas, el sistema es

$\begin{cases}x-1{,}4y=0\\ -x-y+2z=0\\ x+y+z=18\end{cases}$

$\textbf{b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [0,8 puntos]}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}1&-1{,}4&0\\ -1&-1&2\\ 1&1&1\end{pmatrix}$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$|A|=\left(-1-2{,}8+0\right)-\left(0+2+1{,}4\right)=-3{,}8-3{,}4=-7{,}2$

$|A|=-7{,}2\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: el reparto de horas queda determinado de forma única.

$\textbf{c) Resuélvalo. [0,8 puntos]}$

Las dos primeras ecuaciones dan $x$ y $z$ en función de $y$, así que se sustituyen en la tercera.

$x=1{,}4y$

$z=\dfrac{1{,}4y+y}{2}=\dfrac{2{,}4y}{2}=1{,}2y$

$1{,}4y+y+1{,}2y=18\Rightarrow 3{,}6y=18\Rightarrow y=5$

$x=1{,}4\cdot5=7,\qquad z=1{,}2\cdot5=6$

Se comprueba el total: $7+5+6=18$ horas, y que Pedro empleó la mitad de lo que emplearon los otros dos, $\dfrac{7+5}{2}=6$.

Cristina dedicó 7 horas, Juan 5 horas y Pedro 6 horas.