Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2021

Dada la función $f(x) = \dfrac{3x^2}{(x + 4)^2}$, obtenga: [2,5 puntos]

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]

b) Las asíntotas. [0,5 puntos]

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [0,75 puntos]

d) Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan. [0,75 puntos]

e) Finalmente, con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuje su gráfica. [0,25 puntos]

$\textbf{a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes OX y OY. [0,25 puntos]}$

El dominio lo forman todos los números reales salvo el que anula el denominador.

$(x+4)^{2}=0\Rightarrow x=-4\Rightarrow\text{Dom }f=\mathbb{R}-\{-4\}$

Para el corte con OX se anula el numerador; para el de OY se hace $x=0$.

$3x^{2}=0\Rightarrow x=0,\qquad f(0)=\dfrac{0}{16}=0$

Los dos cortes coinciden en el origen: la gráfica corta a los ejes únicamente en $(0,0)$.

$\textbf{b) Las asíntotas. [0,5 puntos]}$

Asíntota vertical: en $x=-4$ el numerador vale $48\neq0$ y el denominador es un cuadrado, siempre positivo.

$\lim_{x\to-4}\dfrac{3x^{2}}{(x+4)^{2}}=\dfrac{48}{0^{+}}=+\infty$

La recta $x=-4$ es asíntota vertical, y la curva se dispara a $+\infty$ por los dos lados.

Asíntota horizontal: numerador y denominador tienen el mismo grado.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{3x^{2}}{(x+4)^{2}}=\dfrac{3}{1}=3$

La recta $y=3$ es asíntota horizontal, y por existir esta no hay asíntota oblicua.

$\textbf{c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan. [0,75 puntos]}$

Se deriva por la regla del cociente y se simplifica sacando factor común $(x+4)$.

$f'(x)=\dfrac{6x(x+4)^{2}-3x^{2}\cdot2(x+4)}{(x+4)^{4}}=\dfrac{6x(x+4)-6x^{2}}{(x+4)^{3}}$

$f'(x)=\dfrac{6x^{2}+24x-6x^{2}}{(x+4)^{3}}=\dfrac{24x}{(x+4)^{3}}$

$f'(x)=0\Rightarrow 24x=0\Rightarrow x=0$

El signo de $f'$ depende de los signos del numerador y del cubo del denominador, que cambia en $x=-4$.

$f'(-5)=\dfrac{-120}{-1}=120>0$

$f'(-1)=\dfrac{-24}{27}<0$

$f'(1)=\dfrac{24}{125}>0$



La función crece en $(-\infty,-4)\cup(0,+\infty)$ y decrece en $(-4,0)$.

En $x=0$ pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo en $(0,0)$. En $x=-4$ no hay extremo, porque el punto no pertenece al dominio.

$\textbf{d) Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan. [0,75 puntos]}$

Se deriva otra vez, sacando factor común $(x+4)^{-4}$.

$f''(x)=\dfrac{24(x+4)^{3}-24x\cdot3(x+4)^{2}}{(x+4)^{6}}=\dfrac{24(x+4)-72x}{(x+4)^{4}}$

$f''(x)=\dfrac{96-48x}{(x+4)^{4}}=\dfrac{48(2-x)}{(x+4)^{4}}$

$f''(x)=0\Rightarrow 2-x=0\Rightarrow x=2$

El denominador es una potencia par, siempre positiva, de modo que el signo de $f''$ es el de $2-x$.

$\text{Si } x<2:\ f''(x)>0\Rightarrow\text{convexa } (\cup)$

$\text{Si } x>2:\ f''(x)<0\Rightarrow\text{cóncava } (\cap)$

La función es convexa en $(-\infty,-4)\cup(-4,2)$ y cóncava en $(2,+\infty)$, con un punto de inflexión en

$f(2)=\dfrac{3\cdot4}{36}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow\left(2,\dfrac{1}{3}\right)$

$\textbf{e) Finalmente, con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibuje su gráfica. [0,25 puntos]}$

Con toda la información anterior —dominio, corte en el origen, las dos asíntotas, el mínimo relativo y el punto de inflexión— ya se puede representar la curva.