Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x) = \dfrac{3x - 15}{4x^2 + 4x - 120}$: [2,5 puntos]

a) ¿En qué puntos es discontinua? [0,5 puntos]

b) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? Justifique la respuesta. [1 punto]

c) Calcule los dos límites laterales en $x = -6$. Interprete gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor. [1 punto]

$\textbf{a) ¿En qué puntos es discontinua? [0,5 puntos]}$

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$4x^{2}+4x-120=0\Rightarrow x^{2}+x-30=0\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+120}}{2}=\dfrac{-1\pm11}{2}$

$\begin{cases}x=5\\ x=-6\end{cases}$

La función es discontinua en $x=5$ y en $x=-6$, que son los dos únicos puntos que no pertenecen a su dominio.

$\textbf{b) ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? Justifique la respuesta. [1 punto]}$

Se factorizan numerador y denominador para ver qué ocurre en cada punto.

$f(x)=\dfrac{3x-15}{4x^{2}+4x-120}=\dfrac{3(x-5)}{4(x-5)(x+6)}$

En $x=5$ el factor $(x-5)$ se cancela, así que el límite existe y es finito.

$\lim_{x\to5}f(x)=\lim_{x\to5}\dfrac{3}{4(x+6)}=\dfrac{3}{44}$

La discontinuidad de $x=5$ es evitable y sí se puede eliminar redefiniendo la función en ese punto:

$g(x)=\begin{cases}f(x) & \text{si } x\neq5\\[2pt] \dfrac{3}{44} & \text{si } x=5\end{cases}$

En $x=-6$ el numerador de la expresión simplificada no se anula, de modo que el límite es infinito y la discontinuidad es inevitable: por mucho que se defina un valor allí, la función nunca será continua.

$\textbf{c) Calcule los dos límites laterales en } \boldsymbol{x = -6}\textbf{. Interprete gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor. [1 punto]}$

Se trabaja con la expresión simplificada, válida en todo un entorno de $x=-6$.

$\lim_{x\to-6^{-}}\dfrac{3}{4(x+6)}=\dfrac{3}{0^{-}}=-\infty$

$\lim_{x\to-6^{+}}\dfrac{3}{4(x+6)}=\dfrac{3}{0^{+}}=+\infty$

Los dos límites laterales son infinitos y de signo contrario, de modo que la recta $x=-6$ es una asíntota vertical de la gráfica: al acercarse a $-6$ por la izquierda la curva se desploma hacia $-\infty$, y al acercarse por la derecha se dispara hacia $+\infty$, sin llegar a tocar nunca la recta.