Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa elabora dos productos, A y B, que le proporcionan unos beneficios por kg de 5 y 7 euros respectivamente. Por cuestiones de logística, solo puede producir un máximo de 500 kg a la semana. Las horas semanales de trabajo disponibles son 3200: cada kg de A requiere 4 horas y cada kg de B, 8 h. Además, solo dispone de 1500 unidades de materia prima a la semana: cada kg de A necesita 3,75 unidades de materia prima; cada kg de B, 2 unidades. ¿Cuántos kilogramos de cada producto se pueden obtener semanalmente para maximizar los beneficios? ¿A cuánto ascienden dichos beneficios? [2,5 puntos]

$\textbf{¿Cuántos kilogramos de cada producto se pueden obtener semanalmente para maximizar los beneficios? ¿A cuánto ascienden dichos beneficios? [2,5 puntos]}$

Se llama $x$ a los kilogramos del producto A e $y$ a los del producto B que se fabrican cada semana.

Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Materia prima}$	$\text{Beneficio (€)}$
Producto A (x)	4x	3,75x	5x
Producto B (y)	8y	2y	7y
Totales	4x + 8y	3,75x + 2y	5x + 7y

La función objetivo que se desea maximizar es el beneficio semanal:

$B(x,y)=5x+7y$

Las restricciones del problema son:

Solo se pueden producir 500 kg a la semana $\Rightarrow$ $x+y\leq500$.

Las horas semanales disponibles son 3200 $\Rightarrow$ $4x+8y\leq3200$, que dividida entre 4 queda $x+2y\leq800$.

Solo hay 1500 unidades de materia prima $\Rightarrow$ $3{,}75x+2y\leq1500$.

Las cantidades no pueden ser negativas $\Rightarrow$ $x\geq0;\ y\geq0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x+y\leq500\\ x+2y\leq800\\ 3{,}75x+2y\leq1500\\ x\geq0;\ y\geq0 \end{cases}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$: es el origen, $A(0,0)$.

Vértice $B$:

$\begin{cases}3{,}75x+2y=1500\\ y=0\end{cases}\Rightarrow 3{,}75x=1500\Rightarrow x=400\Rightarrow B(400,0)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}3{,}75x+2y=1500\\ x+y=500\end{cases}\Rightarrow y=500-x\Rightarrow 3{,}75x+1000-2x=1500$

$1{,}75x=500\Rightarrow x=\dfrac{2000}{7}\Rightarrow y=\dfrac{1500}{7}\Rightarrow C\left(\dfrac{2000}{7},\dfrac{1500}{7}\right)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}x+y=500\\ x+2y=800\end{cases}\Rightarrow y=300\Rightarrow x=200\Rightarrow D(200,300)$

Vértice $E$:

$\begin{cases}x+2y=800\\ x=0\end{cases}\Rightarrow 2y=800\Rightarrow y=400\Rightarrow E(0,400)$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $B$ en los cinco.

$B(0,0)=0$

$B(400,0)=5\cdot400=2000$

$B\left(\dfrac{2000}{7},\dfrac{1500}{7}\right)=\dfrac{10000}{7}+\dfrac{10500}{7}=\dfrac{20500}{7}\approx2928{,}57$

$B(200,300)=5\cdot200+7\cdot300=1000+2100=3100$

$B(0,400)=7\cdot400=2800$

El mayor de los cinco valores se alcanza en el vértice $D(200,300)$. Se comprueba que esa producción agota la capacidad y las horas, y no llega al límite de materia prima:

$200+300=500\ \text{kg},\qquad 4\cdot200+8\cdot300=3200\ \text{horas}$

$3{,}75\cdot200+2\cdot300=750+600=1350\leq1500\ \text{unidades}$

Se deben obtener 200 kg del producto A y 300 kg del producto B a la semana, con los que el beneficio máximo asciende a 3100 euros.