Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un museo ofrece entradas con tarifas distintas: adulto, niño y jubilado. La suma de las tarifas de adulto y jubilado es cinco veces la tarifa de niño. Además, se sabe que un grupo de 5 adultos, 3 niños y 3 jubilados, ha pagado 222 €; y otro grupo de 3 adultos, 2 niños y 4 jubilados, 168 €. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las tres tarifas. [1 punto]

b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [1 punto]

c) Resuélvalo. [0,25 puntos]

d) El día que una familia formada por 2 adultos, 2 niños y 3 jubilados visita el museo, se ha aplicado un descuento especial de un 15 % a cada tarifa. ¿Cuánto pagan en total? [0,25 puntos]

$\textbf{a) Plantee el sistema de ecuaciones que permite calcular las tres tarifas. [1 punto]}$

Se llama $x$ a la tarifa de adulto, $y$ a la de niño y $z$ a la de jubilado, todas en euros.

i) La suma de las tarifas de adulto y jubilado es cinco veces la de niño:

$x+z=5y$

ii) Un grupo de 5 adultos, 3 niños y 3 jubilados pagó 222 €:

$5x+3y+3z=222$

iii) Otro grupo de 3 adultos, 2 niños y 4 jubilados pagó 168 €:

$3x+2y+4z=168$

Ordenando las incógnitas, el sistema es

$\begin{cases}x-5y+z=0\\ 5x+3y+3z=222\\ 3x+2y+4z=168\end{cases}$

$\textbf{b) Analice la compatibilidad de dicho sistema. [1 punto]}$

El sistema tiene tres ecuaciones y tres incógnitas, así que se aplica el teorema de Rouché-Frobenius a partir del determinante de la matriz de coeficientes.

$A=\begin{pmatrix}1&-5&1\\ 5&3&3\\ 3&2&4\end{pmatrix}$

Se desarrolla por la regla de Sarrus.

$|A|=\left(12-45+10\right)-\left(9+6-100\right)=-23+85=62$

$|A|=62\neq0\Rightarrow\operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado: las tres tarifas quedan determinadas de forma única.

$\textbf{c) Resuélvalo. [0,25 puntos]}$

De la primera ecuación se despeja $z=5y-x$ y se sustituye en las otras dos.

$5x+3y+3(5y-x)=222\Rightarrow 2x+18y=222\Rightarrow x+9y=111$

$3x+2y+4(5y-x)=168\Rightarrow -x+22y=168$

Sumando las dos ecuaciones resultantes:

$31y=279\Rightarrow y=9$

$x=111-9\cdot9=111-81=30$

$z=5\cdot9-30=45-30=15$

Se comprueba con el segundo grupo: $3\cdot30+2\cdot9+4\cdot15=90+18+60=168$ €.

La entrada de adulto cuesta 30 €, la de niño 9 € y la de jubilado 15 €.

$\textbf{d) El día que una familia formada por 2 adultos, 2 niños y 3 jubilados visita el museo, se ha aplicado un descuento especial de un 15 \% a cada tarifa. ¿Cuánto pagan en total? [0,25 puntos]}$

Se calcula primero lo que costarían las entradas sin descuento.

$2\cdot30+2\cdot9+3\cdot15=60+18+45=123\ \text{€}$

Aplicar un descuento del 15 % a cada tarifa equivale a pagar el 85 % del total, porque el descuento afecta por igual a todos los sumandos.

$123\cdot0{,}85=104{,}55$

La familia paga en total 104,55 euros.