Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2022

Dadas las funciones $f(x) = -x^2 - 2x + 8$ y $g(x) = 2x^2 - 2x - 4$: [2,5 puntos]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones. [0,5 puntos]

b) ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones? [0,5 puntos]

c) Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre $f$ y $g$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región que queda encerrada entre las funciones $f$ y $g$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones. [0,5 puntos]}$

Las dos son funciones polinómicas de segundo grado, continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. Se deriva cada una y se anula su derivada.

$f(x)=-x^{2}-2x+8\Rightarrow f'(x)=-2x-2$

$f'(x)=0\Rightarrow -2x-2=0\Rightarrow x=-1$

Como el coeficiente principal de $f$ es negativo, la parábola tiene las ramas hacia abajo y la derivada pasa de positiva a negativa en $x=-1$.

$f\ \text{crece en }(-\infty,-1)\ \text{y decrece en }(-1,+\infty)$

$g(x)=2x^{2}-2x-4\Rightarrow g'(x)=4x-2$

$g'(x)=0\Rightarrow 4x-2=0\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}$

Aquí el coeficiente principal es positivo, las ramas van hacia arriba y la derivada pasa de negativa a positiva.

$g\ \text{decrece en }\left(-\infty,\dfrac{1}{2}\right)\ \text{y crece en }\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$

$\textbf{b) ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones? [0,5 puntos]}$

Cada parábola tiene un único extremo, su vértice, y al ser el único es también absoluto.

$f(-1)=-(-1)^{2}-2(-1)+8=-1+2+8=9$

En $(-1,9)$ la función $f$ presenta un máximo, relativo y absoluto, porque las ramas de la parábola van hacia abajo.

$g\left(\dfrac{1}{2}\right)=2\cdot\dfrac{1}{4}-2\cdot\dfrac{1}{2}-4=\dfrac{1}{2}-1-4=-\dfrac{9}{2}$

En $\left(\dfrac{1}{2},-\dfrac{9}{2}\right)$ la función $g$ presenta un mínimo, relativo y absoluto, porque las ramas van hacia arriba.

$\textbf{c) Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Se calculan primero los cortes con los ejes de cada parábola.

$f(x)=0\Rightarrow -x^{2}-2x+8=0\Rightarrow x^{2}+2x-8=0\Rightarrow(x+4)(x-2)=0$

$\begin{cases}x=-4\\ x=2\end{cases},\qquad f(0)=8$

$g(x)=0\Rightarrow 2x^{2}-2x-4=0\Rightarrow x^{2}-x-2=0\Rightarrow(x-2)(x+1)=0$

$\begin{cases}x=2\\ x=-1\end{cases},\qquad g(0)=-4$

Los puntos de corte entre las dos curvas se obtienen igualándolas.

$-x^{2}-2x+8=2x^{2}-2x-4\Rightarrow 3x^{2}=12\Rightarrow x^{2}=4\Rightarrow x=\pm2$

$f(-2)=-4+4+8=8,\qquad f(2)=-4-4+8=0$

Las dos parábolas se cortan en $(-2,8)$ y en $(2,0)$.



$\textbf{d) Calcule el área de la región que queda encerrada entre las funciones } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{. [1 punto]}$

Los límites de integración son las abscisas de los dos puntos de corte, $x=-2$ y $x=2$. Entre ellos hay que saber qué función va por encima; se comprueba con un punto intermedio.

$f(0)=8,\qquad g(0)=-4\Rightarrow f\ \text{va por encima de }g\ \text{en }(-2,2)$

$A=\int_{-2}^{2}\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int_{-2}^{2}\left(-3x^{2}+12\right)dx$

$\int\left(-3x^{2}+12\right)dx=-x^{3}+12x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left[-x^{3}+12x\right]_{-2}^{2}=(-8+24)-(8-24)=16+16=32$

El área de la región encerrada entre las dos parábolas es de 32 unidades de área.