Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

En un día de playa y bajo un sol radiante Fabiola se acerca al chiringuito y compra 3 helados, 2 granizados y 2 horchatas, pagando un total de 20 €. Al comprobar el ticket se da cuenta de que le han cobrado un helado y una horchata de más. Tras reclamar, el vendedor le devuelve 5 €. Además, para compensar el error, le ofrece llevarse en promoción un helado y un granizado por 2 €, lo que supone un descuento del 50 % respecto a sus precios originales. [2,5 puntos]

a) Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio (sin descuento) de un helado, un granizado y una horchata. [1,25 puntos]

b) Resuélvalo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Plantee el sistema de ecuaciones que permita calcular el precio (sin descuento) de un helado, un granizado y una horchata. [1,25 puntos]}$

Se llama $x$ al precio de un helado, $y$ al de un granizado y $z$ al de una horchata, todos en euros y sin descuento.

i) El ticket que Fabiola pagó ascendía a 20 €, y en él le cobraron un helado y una horchata más de los que se llevó, es decir, 4 helados, 2 granizados y 3 horchatas:

$4x+2y+3z=20$

ii) Al reclamar le devolvieron el importe del helado y la horchata cobrados de más, que fue de 5 €:

$x+z=5$

iii) La promoción de un helado y un granizado por 2 € supone el 50 % de sus precios originales, de modo que esos precios suman el doble:

$\dfrac{x+y}{2}=2\Rightarrow x+y=4$

El sistema pedido es

$\begin{cases}4x+2y+3z=20\\ x+z=5\\ x+y=4\end{cases}$

$\textbf{b) Resuélvalo. [1,25 puntos]}$

Las dos últimas ecuaciones dan $y$ y $z$ en función de $x$, así que se sustituyen en la primera.

$y=4-x,\qquad z=5-x$

$4x+2(4-x)+3(5-x)=20$

$4x+8-2x+15-3x=20\Rightarrow -x+23=20\Rightarrow x=3$

$y=4-3=1,\qquad z=5-3=2$

Se comprueba el ticket: $4\cdot3+2\cdot1+3\cdot2=12+2+6=20$ €, y lo que realmente compró costaba $3\cdot3+2\cdot1+2\cdot2=15$ €, justo los 5 € que le devolvieron.

Un helado cuesta 3 €, un granizado 1 € y una horchata 2 €.