Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2022

Un autónomo del sector del transporte ha determinado que los costes mensuales de su empresa responden a una función $C(v)$, donde $v$ representa el número de vehículos movilizados. Se sabe que la empresa dispone de un total de 36 vehículos y que los costes ascienden a 5000 € si no se moviliza ningún vehículo. Se sabe, además, que $C'(v) = v^2 - 32v + 112$ es la derivada de $C(v)$. [2,5 puntos]

a) ¿Cuántos vehículos han de movilizarse para minimizar costes? ¿A cuánto ascenderían dichos costes? [1,25 puntos]

b) ¿Para qué número de vehículos movilizados serían máximos los costes? ¿A cuánto ascenderían dichos costes? [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuántos vehículos han de movilizarse para minimizar costes? ¿A cuánto ascenderían dichos costes? [1,25 puntos]}$

Los puntos donde los costes pueden ser máximos o mínimos son las raíces de la derivada, así que se empieza anulándola.

$C'(v)=0\Rightarrow v^{2}-32v+112=0\Rightarrow v=\dfrac{32\pm\sqrt{1024-448}}{2}=\dfrac{32\pm24}{2}$

$\begin{cases}v=28\\ v=4\end{cases}$

Los dos pertenecen al intervalo $[0,36]$ que impone el número de vehículos de la empresa. Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos.

$C'(0)=112>0,\qquad C'(16)=256-512+112=-144<0,\qquad C'(36)=1296-1152+112=256>0$



Los costes crecen hasta $v=4$, decrecen entre $v=4$ y $v=28$ y vuelven a crecer: hay un máximo relativo en $v=4$ y un mínimo relativo en $v=28$.

Para dar el importe hace falta $C(v)$, que se obtiene integrando la derivada.

$C(v)=\int\left(v^{2}-32v+112\right)dv=\dfrac{v^{3}}{3}-16v^{2}+112v+K$

La constante se determina con el dato de que los costes son 5000 € si no se moviliza ningún vehículo.

$C(0)=K=5000\Rightarrow C(v)=\dfrac{v^{3}}{3}-16v^{2}+112v+5000$

Los dos candidatos a mínimo absoluto son el mínimo relativo y el extremo izquierdo del intervalo.

$C(0)=5000$

$C(28)=\dfrac{21952}{3}-16\cdot784+112\cdot28+5000=\dfrac{21952}{3}-4408=\dfrac{8728}{3}\approx2909{,}33$

Han de movilizarse 28 vehículos, con los que los costes mensuales serían de $\dfrac{8728}{3}\approx2909{,}33$ euros.

$\textbf{b) ¿Para qué número de vehículos movilizados serían máximos los costes? ¿A cuánto ascenderían dichos costes? [1,25 puntos]}$

Ahora los candidatos son el máximo relativo, $v=4$, y el extremo derecho del intervalo, $v=36$.

$C(4)=\dfrac{64}{3}-16\cdot16+112\cdot4+5000=\dfrac{64}{3}+5192=\dfrac{15640}{3}\approx5213{,}33$

$C(36)=\dfrac{46656}{3}-16\cdot1296+112\cdot36+5000=15552-20736+4032+5000=3848$

Como $\dfrac{15640}{3}>3848$, el máximo absoluto está en $v=4$.

Los costes serían máximos movilizando 4 vehículos, y ascenderían a $\dfrac{15640}{3}\approx5213{,}33$ euros.