Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Dada la función $f(x) = \dfrac{2x^2 + 2x - 24}{x^2 + 2x - 8}$: [2,5 puntos]

a) ¿En qué puntos es discontinua $f$? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso? [1 punto]

b) ¿Se podría redefinir $f$ para evitar alguna de estas discontinuidades? [0,25 puntos]

c) ¿Cuáles son las asíntotas de $f$? [0,75 puntos]

d) Esboce la gráfica de $f$, indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]

$\textbf{a) ¿En qué puntos es discontinua } \boldsymbol{f}\textbf{? ¿De qué tipo de discontinuidad se trata en cada caso? [1 punto]}$

La función es un cociente de polinomios, de modo que solo puede ser discontinua donde se anula el denominador.

$x^{2}+2x-8=0\Rightarrow x=\dfrac{-2\pm\sqrt{4+32}}{2}=\dfrac{-2\pm6}{2}\Rightarrow\begin{cases}x=2\\ x=-4\end{cases}$

Se factorizan numerador y denominador para ver qué ocurre en cada uno.

$f(x)=\dfrac{2x^{2}+2x-24}{x^{2}+2x-8}=\dfrac{2(x-3)(x+4)}{(x-2)(x+4)}$

En $x=-4$ el factor $(x+4)$ se cancela, así que se calcula el límite.

$\lim_{x\to-4}f(x)=\lim_{x\to-4}\dfrac{2(x-3)}{x-2}=\dfrac{2(-7)}{-6}=\dfrac{7}{3}$

El límite existe y es finito, pero la función no está definida ahí: la discontinuidad en $x=-4$ es evitable.

En $x=2$ el numerador no se anula, de modo que se estudian los límites laterales.

$\lim_{x\to2^{-}}\dfrac{2(x-3)}{x-2}=\dfrac{-2}{0^{-}}=+\infty$

$\lim_{x\to2^{+}}\dfrac{2(x-3)}{x-2}=\dfrac{-2}{0^{+}}=-\infty$

La discontinuidad en $x=2$ es de salto infinito, es decir, inevitable.

$\textbf{b) ¿Se podría redefinir } \boldsymbol{f}\textbf{ para evitar alguna de estas discontinuidades? [0,25 puntos]}$

Sí, la de $x=-4$, porque allí el límite existe y es finito. Basta definir la función en ese punto con el valor del límite:

$g(x)=\begin{cases}f(x) & \text{si } x\neq-4\\[2pt] \dfrac{7}{3} & \text{si } x=-4\end{cases}$

La discontinuidad de $x=2$ no se puede evitar, porque allí los límites laterales son infinitos y no coinciden.

$\textbf{c) ¿Cuáles son las asíntotas de } \boldsymbol{f}\textbf{? [0,75 puntos]}$

Asíntota vertical: solo la hay donde el límite es infinito, es decir, en $x=2$.

$\lim_{x\to2}f(x)=\infty\Rightarrow x=2\ \text{es asíntota vertical}$

En $x=-4$ no hay asíntota, porque allí el límite es finito.

Asíntota horizontal: numerador y denominador tienen el mismo grado, así que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^{2}+2x-24}{x^{2}+2x-8}=\dfrac{2}{1}=2$

La recta $y=2$ es asíntota horizontal, y por existir esta no hay asíntota oblicua.

$\textbf{d) Esboce la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{, indicando únicamente los puntos de discontinuidad, las asíntotas y los cortes con los ejes OX y OY. [0,5 puntos]}$

Se calculan primero los cortes con los ejes. El corte con OY se obtiene haciendo $x=0$.

$f(0)=\dfrac{-24}{-8}=3\Rightarrow(0,3)$

Para el corte con OX se anula el numerador de la expresión simplificada, descartando la raíz que no pertenece al dominio.

$2(x-3)=0\Rightarrow x=3\Rightarrow(3,0)$

Fuera de $x=-4$ la función coincide con $\dfrac{2(x-3)}{x-2}$, que es una hipérbola de asíntotas $x=2$ e $y=2$. En $x=-4$ la gráfica presenta un hueco, marcado con un círculo blanco, en el punto $\left(-4,\dfrac{7}{3}\right)$.