Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

a) Con un nivel de confianza del 95 % se ha determinado que el intervalo de confianza para el tiempo medio de vida útil de los microondas que fabrica una cierta marca de electrodomésticos es (8,2 años, 9,4 años). Sabiendo que el tiempo de vida útil de estos microondas es una variable que sigue una distribución normal de desviación típica 3,2 años, halle el tamaño mínimo que debe presentar una muestra de microondas, escogidos aleatoriamente, que permita obtener el intervalo de confianza indicado. [1,25 puntos]

b) En un aeropuerto, el tiempo que tarda un viajero en llegar al avión desde que atraviesa el control de seguridad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 2 minutos. A partir de una muestra de 125 viajeros, escogidos al azar, se determinó que el tiempo medio para llegar al avión tras atravesar el control de seguridad es de 16 minutos. Halle el intervalo de confianza para la media de la distribución con un nivel de confianza del 97,5 %. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Con un nivel de confianza del 95 \% se ha determinado que el intervalo de confianza para el tiempo medio de vida útil de los microondas que fabrica una cierta marca de electrodomésticos es (8,2 años, 9,4 años). Sabiendo que el tiempo de vida útil de estos microondas es una variable que sigue una distribución normal de desviación típica 3,2 años, halle el tamaño mínimo que debe presentar una muestra de microondas, escogidos aleatoriamente, que permita obtener el intervalo de confianza indicado. [1,25 puntos]}$

El intervalo de confianza está centrado en la media muestral, de modo que su amplitud es el doble del error.

$\text{amplitud}=9{,}4-8{,}2=1{,}2\ \text{años}$

$E=\dfrac{1{,}2}{2}=0{,}6\ \text{años}$

Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$, porque $P(Z\leq1{,}96)=0{,}9750$.



Se despeja el tamaño muestral de la expresión del error.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$

$n=\left(\dfrac{1{,}96\cdot3{,}2}{0{,}6}\right)^{2}=\left(10{,}4533\right)^{2}=109{,}2722$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar los 0,6 años, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq109{,}2722\Rightarrow n=110$

La muestra debe tener como mínimo 110 microondas.

$\textbf{b) En un aeropuerto, el tiempo que tarda un viajero en llegar al avión desde que atraviesa el control de seguridad sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 2 minutos. A partir de una muestra de 125 viajeros, escogidos al azar, se determinó que el tiempo medio para llegar al avión tras atravesar el control de seguridad es de 16 minutos. Halle el intervalo de confianza para la media de la distribución con un nivel de confianza del 97,5 \%. [1,25 puntos]}$

Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos son $\sigma=2$, $n=125$ y $\bar{x}=16$ minutos. Con un nivel de confianza del 97,5 % se tiene $\alpha=0{,}025$, y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}9875$.

$P(Z\leq2{,}24)=0{,}9875\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}24$



$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{125}}=0{,}178885$

$E=2{,}24\cdot0{,}178885=0{,}4007$

$(16-0{,}4007\ ,\ 16+0{,}4007)=(15{,}5993\ ,\ 16{,}4007)$

Con un nivel de confianza del 97,5 %, el tiempo medio para llegar al avión está entre $15{,}5993$ y $16{,}4007$ minutos.