Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

a) Una frutería ha conseguido determinar que el peso total de la fruta que guarda en el almacén, expresado en kilogramos, viene dado por la función $P(t) = 30t^2 - 240t + 3000$, donde $t \in [0, 6]$ representa las horas transcurridas desde el momento de la apertura. ¿En qué momento hay menos fruta en el almacén? ¿Cuántos kilogramos hay en ese momento? [1,25 puntos]

b) En una sastrería familiar, el coste total que supone producir $x$ pantalones, en €, viene dado por la función $C(x) = 120x + 700$. Por otro lado, el precio de venta de esos $x$ pantalones, en €, viene dado por la función $P(x) = x(200 - x)$. Suponiendo que todos los pantalones que se producen se venden, ¿cuántos pantalones habría que producir para que el beneficio obtenido sea máximo? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Una frutería ha conseguido determinar que el peso total de la fruta que guarda en el almacén, expresado en kilogramos, viene dado por la función } \boldsymbol{P(t) = 30t^2 - 240t + 3000}\textbf{, donde } \boldsymbol{t \in [0, 6]}\textbf{ representa las horas transcurridas desde el momento de la apertura. ¿En qué momento hay menos fruta en el almacén? ¿Cuántos kilogramos hay en ese momento? [1,25 puntos]}$

La función es una parábola de ramas hacia arriba, porque su coeficiente principal es positivo, de modo que su vértice es el mínimo absoluto. Se localiza derivando e igualando a cero.

$P'(t)=60t-240$

$P'(t)=0\Rightarrow 60t=240\Rightarrow t=4$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un mínimo.

$P''(t)=60>0\Rightarrow\text{mínimo}$

El valor $t=4$ pertenece al intervalo $[0,6]$, así que es el mínimo absoluto en él; los extremos del intervalo dan valores mayores, $P(0)=3000$ y $P(6)=2640$.

$P(4)=30\cdot4^{2}-240\cdot4+3000=480-960+3000=2520$

La menor cantidad de fruta se alcanza 4 horas después de la apertura, y en ese momento hay 2520 kg en el almacén.

$\textbf{b) En una sastrería familiar, el coste total que supone producir } \boldsymbol{x}\textbf{ pantalones, en €, viene dado por la función } \boldsymbol{C(x) = 120x + 700}\textbf{. Por otro lado, el precio de venta de esos } \boldsymbol{x}\textbf{ pantalones, en €, viene dado por la función } \boldsymbol{P(x) = x(200 - x)}\textbf{. Suponiendo que todos los pantalones que se producen se venden, ¿cuántos pantalones habría que producir para que el beneficio obtenido sea máximo? [1,25 puntos]}$

El beneficio es la diferencia entre el precio de venta y el coste total.

$B(x)=P(x)-C(x)=x(200-x)-(120x+700)$

$B(x)=200x-x^{2}-120x-700=-x^{2}+80x-700$

Se deriva y se anula la derivada para localizar el máximo.

$B'(x)=-2x+80$

$B'(x)=0\Rightarrow -2x+80=0\Rightarrow x=40$

Se comprueba con la segunda derivada.

$B''(x)=-2<0\Rightarrow\text{máximo}$

$B(40)=-1600+3200-700=900$

Habría que producir 40 pantalones, con los que el beneficio sería máximo e igual a 900 euros.