Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Dadas las funciones $f(x) = -x^2 + 6x$ y $g(x) = x^2 - 2x$: [2,5 puntos]

a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones. [0,5 puntos]

b) ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones? [0,5 puntos]

c) Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre $f$ y $g$. [0,5 puntos]

d) Calcule el área de la región que queda encerrada entre $f$ y $g$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de ambas funciones. [0,5 puntos]}$

Las dos son funciones polinómicas de segundo grado, continuas y derivables en todo $\mathbb{R}$. Se deriva cada una y se anula su derivada.

$f(x)=-x^{2}+6x\Rightarrow f'(x)=-2x+6$

$f'(x)=0\Rightarrow -2x+6=0\Rightarrow x=3$

Como el coeficiente principal de $f$ es negativo, su parábola tiene las ramas hacia abajo y la derivada pasa de positiva a negativa en $x=3$.

$f\ \text{crece en }(-\infty,3)\ \text{y decrece en }(3,+\infty)$

$g(x)=x^{2}-2x\Rightarrow g'(x)=2x-2$

$g'(x)=0\Rightarrow 2x-2=0\Rightarrow x=1$

Aquí el coeficiente principal es positivo, las ramas van hacia arriba y la derivada pasa de negativa a positiva.

$g\ \text{decrece en }(-\infty,1)\ \text{y crece en }(1,+\infty)$

$\textbf{b) ¿Cuáles y de qué tipo (máximo/mínimo relativo/absoluto) son los extremos de ambas funciones? [0,5 puntos]}$

Cada parábola tiene un único extremo, su vértice, y al ser el único es también absoluto.

$f(3)=-3^{2}+6\cdot3=-9+18=9$

En $(3,9)$ la función $f$ presenta un máximo, que es relativo y además absoluto porque las ramas de la parábola van hacia abajo.

$g(1)=1^{2}-2\cdot1=1-2=-1$

En $(1,-1)$ la función $g$ presenta un mínimo, que es relativo y además absoluto porque las ramas van hacia arriba.

$\textbf{c) Dibuje la gráfica de ambas funciones, indicando claramente sus puntos de corte con los ejes OX y OY, así como los puntos de corte entre } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Se calculan primero los cortes con los ejes de cada parábola.

$f(x)=0\Rightarrow -x^{2}+6x=0\Rightarrow x(6-x)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=6\end{cases}$

$g(x)=0\Rightarrow x^{2}-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow\begin{cases}x=0\\ x=2\end{cases}$

Las dos pasan por el origen, de modo que las dos cortan al eje OY en $(0,0)$.

Los puntos de corte entre las dos curvas se obtienen igualándolas.

$-x^{2}+6x=x^{2}-2x\Rightarrow 2x^{2}-8x=0\Rightarrow 2x(x-4)=0$

$\begin{cases}x=0\Rightarrow f(0)=0\\ x=4\Rightarrow f(4)=-16+24=8\end{cases}$

Las dos parábolas se cortan en $(0,0)$ y en $(4,8)$.



$\textbf{d) Calcule el área de la región que queda encerrada entre } \boldsymbol{f}\textbf{ y } \boldsymbol{g}\textbf{. [1 punto]}$

Los límites de integración son las abscisas de los dos puntos de corte, $x=0$ y $x=4$. Entre ellos hay que saber qué función va por encima; se comprueba con un punto intermedio.

$f(1)=5,\qquad g(1)=-1\Rightarrow f\ \text{va por encima de }g\ \text{en }(0,4)$

$A=\int_{0}^{4}\left[f(x)-g(x)\right]dx=\int_{0}^{4}\left(-2x^{2}+8x\right)dx$

$\int\left(-2x^{2}+8x\right)dx=-\dfrac{2x^{3}}{3}+4x^{2}+C$

Aplicando la regla de Barrow:

$A=\left[-\dfrac{2x^{3}}{3}+4x^{2}\right]_{0}^{4}=\left(-\dfrac{128}{3}+64\right)-0$

$A=\dfrac{-128+192}{3}=\dfrac{64}{3}\approx21{,}33\ \text{u}^{2}$

El área de la región encerrada entre las dos parábolas es $\dfrac{64}{3}\approx21{,}33$ unidades de área.