Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Una empresa de 244 trabajadores se compone de operarios, supervisores y gerentes; siendo el número de operarios ocho veces el de gerentes. Además, se sabe que un día en el que faltaron la mitad de los supervisores y el 60 % de los gerentes, el número de operarios fue cuatro veces la suma de los supervisores y los gerentes que se quedaron. [2,5 puntos]

a) Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular cuántos operarios, cuántos supervisores y cuántos gerentes componen la empresa. [1,25 puntos]

b) Resuélvalo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular cuántos operarios, cuántos supervisores y cuántos gerentes componen la empresa. [1,25 puntos]}$

Se llama $x$ al número de operarios, $y$ al de supervisores y $z$ al de gerentes, y se traducen a ecuaciones las tres condiciones del enunciado.

i) La empresa tiene 244 trabajadores:

$x+y+z=244$

ii) El número de operarios es ocho veces el de gerentes:

$x=8z$

iii) El día que faltaron la mitad de los supervisores y el 60 % de los gerentes se quedaron $\dfrac{y}{2}$ supervisores y $0{,}4z$ gerentes, y el número de operarios fue cuatro veces esa suma:

$x=4\left(\dfrac{y}{2}+0{,}4z\right)=2y+1{,}6z$

El sistema pedido es

$\begin{cases}x+y+z=244\\ x-8z=0\\ x-2y-1{,}6z=0\end{cases}$

$\textbf{b) Resuélvalo. [1,25 puntos]}$

La segunda ecuación da $x$ en función de $z$, así que se sustituye en la tercera para despejar $y$.

$8z=2y+1{,}6z\Rightarrow 6{,}4z=2y\Rightarrow y=3{,}2z$

Se llevan las dos expresiones a la primera ecuación.

$8z+3{,}2z+z=244\Rightarrow 12{,}2z=244\Rightarrow z=20$

$y=3{,}2\cdot20=64,\qquad x=8\cdot20=160$

Se comprueba la tercera condición: ese día quedaron $\dfrac{64}{2}=32$ supervisores y $0{,}4\cdot20=8$ gerentes, y $4(32+8)=160$ operarios.

La empresa tiene 160 operarios, 64 supervisores y 20 gerentes.