Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

El precio de las lavadoras que se venden en una gran superficie es una variable que sigue una distribución normal de desviación típica 235 €. Para una muestra de 50 lavadoras, escogidas al azar, se obtiene un precio medio de 405 €. [2,5 puntos]

a) Obtenga el intervalo de confianza del 95 % para el precio medio de una lavadora. [1,25 puntos]

b) ¿Cuál es el número mínimo de lavadoras que habría que considerar para que el error cometido al estimar el precio medio por lavadora con un nivel de confianza del 97 % fuese de 50 €? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Obtenga el intervalo de confianza del 95 \% para el precio medio de una lavadora. [1,25 puntos]}$

El precio sigue una distribución normal de desviación típica conocida, $\sigma=235$ euros. Para muestras de tamaño $n$, la media muestral se distribuye según

$\bar{X}\sim N\left(\mu\,;\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

y el intervalo de confianza para la media poblacional es

$\left(\bar{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\ ,\ \bar{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Los datos de la muestra son $n=50$ y $\bar{x}=405$ euros. Con un nivel de confianza del 95 % se tiene $\alpha=0{,}05$, y la tabla da $z_{\alpha/2}=1{,}96$, porque $P(Z\leq1{,}96)=0{,}9750$.



$\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=\dfrac{235}{\sqrt{50}}=33{,}234$

$E=1{,}96\cdot33{,}234=65{,}139$

$(405-65{,}139\ ,\ 405+65{,}139)=(339{,}861\ ,\ 470{,}139)$

Con un nivel de confianza del 95 %, el precio medio de una lavadora está entre $339{,}861$ y $470{,}139$ euros.

$\textbf{b) ¿Cuál es el número mínimo de lavadoras que habría que considerar para que el error cometido al estimar el precio medio por lavadora con un nivel de confianza del 97 \% fuese de 50 €? [1,25 puntos]}$

Se parte de la misma expresión del error y se despeja el tamaño muestral.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\Rightarrow\sqrt{n}=\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\Rightarrow n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^{2}$

Ahora el nivel de confianza es del 97 %, de modo que $\alpha=0{,}03$ y se busca el valor de $z$ que deja a su izquierda $1-\dfrac{\alpha}{2}=0{,}985$.

$P(Z\leq2{,}17)=0{,}9850\Rightarrow z_{\alpha/2}=2{,}17$



$n=\left(\dfrac{2{,}17\cdot235}{50}\right)^{2}=\left(10{,}199\right)^{2}=104{,}0196$

Como el tamaño de la muestra tiene que ser entero y el error no puede superar los 50 €, se toma el entero inmediatamente superior.

$n\geq104{,}0196\Rightarrow n=105$

Habría que considerar como mínimo 105 lavadoras.