Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

a) Un hospital ha determinado que el número de pacientes que hay en urgencias a lo largo de un turno de 36 horas viene dado por la función $P(t)$, donde $t \in [0, 36]$ se expresa en horas. Se sabe que $P'(t) = t^2 - 40t + 231$ es la derivada de $P(t)$ y que al finalizar el turno quedan en urgencias 448 pacientes. ¿En qué momento del turno hay menos pacientes en urgencias? ¿Cuántos pacientes hay en ese momento? [1,25 puntos]

b) En una panadería el coste de producción de una hogaza es de 2 €, y el precio de venta de $x$ hogazas, en €, viene dado por la función $P(x) = x(122 - x)$. Además, esta panadería tiene unos gastos fijos mensuales de 500 €. Suponiendo que todas las hogazas que se producen se venden, ¿cuántas hogazas debería producir la panadería al mes para maximizar sus ganancias mensuales? ¿A cuánto ascenderían esas ganancias? [1,25 puntos]

$\textbf{a) Un hospital ha determinado que el número de pacientes que hay en urgencias a lo largo de un turno de 36 horas viene dado por la función } \boldsymbol{P(t)}\textbf{, donde } \boldsymbol{t \in [0, 36]}\textbf{ se expresa en horas. Se sabe que } \boldsymbol{P'(t) = t^2 - 40t + 231}\textbf{ es la derivada de } \boldsymbol{P(t)}\textbf{ y que al finalizar el turno quedan en urgencias 448 pacientes. ¿En qué momento del turno hay menos pacientes en urgencias? ¿Cuántos pacientes hay en ese momento? [1,25 puntos]}$

Se busca el mínimo absoluto de $P$ en el intervalo cerrado $[0,36]$, así que hay que comparar los puntos críticos con los extremos del intervalo. Los puntos críticos son las raíces de la derivada.

$P'(t)=0\Rightarrow t^{2}-40t+231=0\Rightarrow t=\dfrac{40\pm\sqrt{1600-924}}{2}=\dfrac{40\pm26}{2}$

$\begin{cases}t=33\\ t=7\end{cases}$

Se estudia el signo de $P'$ en los tres tramos que quedan dentro del turno.

$P'(0)=231>0,\qquad P'(20)=400-800+231=-169<0,\qquad P'(36)=1296-1440+231=87>0$



La función crece hasta $t=7$, decrece entre $t=7$ y $t=33$ y vuelve a crecer hasta el final del turno: hay un máximo relativo en $t=7$ y un mínimo relativo en $t=33$.

Para dar el número de pacientes hace falta $P(t)$, que se obtiene integrando la derivada.

$P(t)=\int\left(t^{2}-40t+231\right)dt=\dfrac{t^{3}}{3}-20t^{2}+231t+C$

La constante se determina con el dato del final del turno, $P(36)=448$.

$\dfrac{36^{3}}{3}-20\cdot36^{2}+231\cdot36+C=448$

$15552-25920+8316+C=448\Rightarrow -2052+C=448\Rightarrow C=2500$

$P(t)=\dfrac{t^{3}}{3}-20t^{2}+231t+2500$

Se comparan el mínimo relativo y el extremo izquierdo del intervalo, que son los dos únicos candidatos a mínimo absoluto.

$P(0)=2500$

$P(33)=\dfrac{35937}{3}-20\cdot1089+231\cdot33+2500=11979-21780+7623+2500=322$

El momento de menos pacientes es la hora 33 del turno, y en ese momento hay 322 pacientes en urgencias.

$\textbf{b) En una panadería el coste de producción de una hogaza es de 2 €, y el precio de venta de } \boldsymbol{x}\textbf{ hogazas, en €, viene dado por la función } \boldsymbol{P(x) = x(122 - x)}\textbf{. Además, esta panadería tiene unos gastos fijos mensuales de 500 €. Suponiendo que todas las hogazas que se producen se venden, ¿cuántas hogazas debería producir la panadería al mes para maximizar sus ganancias mensuales? ¿A cuánto ascenderían esas ganancias? [1,25 puntos]}$

La ganancia es la diferencia entre lo que se ingresa por la venta y lo que cuesta producir, incluidos los gastos fijos.

$B(x)=x(122-x)-2x-500$

$B(x)=122x-x^{2}-2x-500=-x^{2}+120x-500$

Se deriva y se anula la derivada para localizar el máximo.

$B'(x)=-2x+120$

$B'(x)=0\Rightarrow -2x+120=0\Rightarrow x=60$

Se comprueba con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B''(x)=-2<0\Rightarrow\text{máximo}$

$B(60)=-3600+7200-500=3100$

La panadería debería producir 60 hogazas al mes, con las que obtendría una ganancia máxima de 3100 euros.