Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

a) ¿Cuáles son las asíntotas (horizontales, verticales y/u oblicuas) de la siguiente función? [1,25 puntos]

$f(x) = \dfrac{2x^2 - 1}{x - 1}$

b) Dada la siguiente función definida a trozos: [1,25 puntos]

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{\ln(x)}{x - 1} & \text{si } 0{,}5 \leq x < 1 \\[1ex] ax^2 + b & \text{si } 1 \leq x \leq 2 \\[1ex] e^{x} + 1 & \text{si } 2 < x \leq 2{,}5 \end{cases}$

determine los parámetros $a$ y $b$ para que $f$ sea continua en el intervalo $[0{,}5,\ 2{,}5]$.

$\textbf{a) ¿Cuáles son las asíntotas (horizontales, verticales y/u oblicuas) de la siguiente función? [1,25 puntos]}$

$f(x)=\dfrac{2x^{2}-1}{x-1}$

Asíntotas verticales: se buscan en los puntos que anulan el denominador y no el numerador.

$x-1=0\Rightarrow x=1,\qquad 2\cdot1^{2}-1=1\neq0$

$\lim_{x\to1}\dfrac{2x^{2}-1}{x-1}=\dfrac{1}{0}=\infty$

La recta $x=1$ es asíntota vertical.

Asíntota horizontal: no hay, porque el grado del numerador es mayor que el del denominador.

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^{2}-1}{x-1}=\pm\infty$

Asíntota oblicua: existe precisamente porque el numerador supera al denominador en un grado. Se obtiene efectuando la división.

$2x^{2}-1=(x-1)(2x+2)+1$

$f(x)=2x+2+\dfrac{1}{x-1}$

Como el resto tiende a cero cuando $x\to\pm\infty$, la recta $y=2x+2$ es asíntota oblicua.

La función tiene una asíntota vertical, $x=1$, y una asíntota oblicua, $y=2x+2$; no tiene asíntota horizontal.

$\textbf{b) Dada la función definida a trozos, determine los parámetros } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que } \boldsymbol{f}\textbf{ sea continua en el intervalo } \boldsymbol{[0{,}5,\ 2{,}5]}\textbf{. [1,25 puntos]}$

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{\ln x}{x-1} & \text{si } 0{,}5\leq x<1\\[4pt] ax^{2}+b & \text{si } 1\leq x\leq2\\[4pt] e^{x}+1 & \text{si } 2<x\leq2{,}5\end{cases}$

Cada trozo es continuo en el interior de su intervalo, de modo que la continuidad solo puede fallar en $x=1$ y en $x=2$, donde cambia la definición. Se impone en cada uno la igualdad de los límites laterales.

En $x=1$ el límite por la izquierda es una indeterminación $\dfrac{0}{0}$, que se resuelve por la regla de L'Hôpital.

$\lim_{x\to1^{-}}\dfrac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to1^{-}}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1}=1$

$\lim_{x\to1^{+}}f(x)=a\cdot1^{2}+b=a+b$

$a+b=1$

En $x=2$:

$\lim_{x\to2^{-}}f(x)=a\cdot2^{2}+b=4a+b$

$\lim_{x\to2^{+}}f(x)=e^{2}+1$

$4a+b=e^{2}+1$

Se resuelve el sistema restando la primera ecuación de la segunda.

$3a=e^{2}\Rightarrow a=\dfrac{e^{2}}{3}\approx2{,}463$

$b=1-a=1-\dfrac{e^{2}}{3}\approx-1{,}463$

La función es continua en $[0{,}5;\ 2{,}5]$ para $a=\dfrac{e^{2}}{3}$ y $b=1-\dfrac{e^{2}}{3}$.