Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

El ayuntamiento dispone de 48000 € para la puesta en marcha de huertas ecológicas en un viejo terreno municipal abandonado. Se destinará un máximo de 50 hectáreas al cultivo de hortalizas y un mínimo de 10 al de árboles frutales. Se dispone de un tanque de agua con una capacidad de 480 $\text{m}^3$ anuales para riego. Se sabe que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas necesita 8 $\text{m}^3$ de agua anuales, cantidad que disminuye hasta los 4 $\text{m}^3$ anuales en el caso de las hectáreas dedicadas al cultivo de árboles frutales. Se sabe también que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas requiere una inversión por parte del ayuntamiento de 400 €, siendo esta cantidad de 800 € para cada hectárea dedicada al cultivo de árboles frutales. Se sabe además que la producción anual de cada hectárea de hortalizas es de 450 kg y la de cada hectárea de árboles frutales es de 600 kg. El objetivo que persigue el ayuntamiento es maximizar la producción anual total. [2,5 puntos]

a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]

b) Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices. [1 punto]

c) ¿Cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de hortalizas y cuántas al de árboles frutales para maximizar la producción anual total? [0,5 puntos]

d) ¿A cuánto asciende dicha producción? [0,25 puntos]

$\textbf{a) Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema. [0,75 puntos]}$

Se llama $x$ al número de hectáreas dedicadas al cultivo de hortalizas e $y$ al número de hectáreas dedicadas a árboles frutales.

Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Agua (m}^3\text{)}$	$\text{Inversión (€)}$	$\text{Producción (kg)}$
Hortalizas (x)	8x	400x	450x
Frutales (y)	4y	800y	600y
Totales	8x + 4y	400x + 800y	450x + 600y

La función objetivo que se desea maximizar es la producción anual total:

$P(x,y)=450x+600y$

Las restricciones del problema son:

Se destinará un máximo de 50 hectáreas a hortalizas $\Rightarrow$ $x\leq50$.

Se destinará un mínimo de 10 hectáreas a frutales $\Rightarrow$ $y\geq10$.

El tanque tiene una capacidad de 480 m³ anuales $\Rightarrow$ $8x+4y\leq480$, que dividida entre 4 queda $2x+y\leq120$.

El ayuntamiento dispone de 48000 € $\Rightarrow$ $400x+800y\leq48000$, que dividida entre 400 queda $x+2y\leq120$.

El número de hectáreas no puede ser negativo $\Rightarrow$ $x\geq0$.

Se reúnen todas las restricciones en un sistema de inecuaciones:

$\begin{cases} x\leq50\\ y\geq10\\ 2x+y\leq120\\ x+2y\leq120\\ x\geq0 \end{cases}$

$\textbf{b) Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices. [1 punto]}$

Para representar la región factible se dibujan primero las rectas que la delimitan. La región factible es la zona coloreada en azul.



Las coordenadas de los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones que forman las rectas que se cortan en cada uno de ellos.

Vértice $A$:

$\begin{cases}x=0\\ y=10\end{cases}\Rightarrow A(0,10)$

Vértice $B$:

$\begin{cases}y=10\\ x=50\end{cases}\Rightarrow B(50,10)$

Vértice $C$:

$\begin{cases}x=50\\ 2x+y=120\end{cases}\Rightarrow y=120-100=20\Rightarrow C(50,20)$

Vértice $D$:

$\begin{cases}2x+y=120\\ x+2y=120\end{cases}\Rightarrow 4x+2y=240$

Restando la segunda de esta última: $3x=120\Rightarrow x=40\Rightarrow y=40\Rightarrow D(40,40)$

Vértice $E$:

$\begin{cases}x+2y=120\\ x=0\end{cases}\Rightarrow 2y=120\Rightarrow y=60\Rightarrow E(0,60)$

La región factible es el pentágono de vértices $A(0,10)$, $B(50,10)$, $C(50,20)$, $D(40,40)$ y $E(0,60)$.

$\textbf{c) ¿Cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de hortalizas y cuántas al de árboles frutales para maximizar la producción anual total? [0,5 puntos]}$

Por el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo se alcanza en alguno de los vértices, así que se valora $P$ en los cinco.

$P(0,10)=600\cdot10=6000$

$P(50,10)=450\cdot50+600\cdot10=22500+6000=28500$

$P(50,20)=450\cdot50+600\cdot20=22500+12000=34500$

$P(40,40)=450\cdot40+600\cdot40=18000+24000=42000$

$P(0,60)=600\cdot60=36000$

El mayor de los cinco valores se alcanza en el vértice $D(40,40)$. Se comprueba que esa distribución agota a la vez el agua y el presupuesto:

$8\cdot40+4\cdot40=320+160=480\ \text{m}^{3}$

$400\cdot40+800\cdot40=16000+32000=48000\ \text{€}$

Se deben dedicar 40 hectáreas al cultivo de hortalizas y 40 hectáreas al de árboles frutales.

$\textbf{d) ¿A cuánto asciende dicha producción? [0,25 puntos]}$

La producción máxima es el valor de la función objetivo en ese vértice.

$P(40,40)=42000$

La producción anual total asciende a 42000 kg.